Cálculo Ejemplos

$\int \frac{t \sqrt{t} + \sqrt{t}}{t^{2}} d t$

Paso 1

Factoriza $\sqrt{t}$ de $t \sqrt{t} + \sqrt{t}$ .

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Paso 1.1

Factoriza $\sqrt{t}$ de $t \sqrt{t}$ .

$\int \frac{\sqrt{t} t + \sqrt{t}}{t^{2}} d t$

Paso 1.2

Multiplica por $1$ .

$\int \frac{\sqrt{t} t + \sqrt{t} \cdot 1}{t^{2}} d t$

Paso 1.3

Factoriza $\sqrt{t}$ de $\sqrt{t} t + \sqrt{t} \cdot 1$ .

$\int \frac{\sqrt{t} (t + 1)}{t^{2}} d t$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Mueve $t^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int \sqrt{t} (t + 1) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{t} (t + 1) t^{2 \cdot - 1} d t$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int \sqrt{t} (t + 1) t^{- 2} d t$

Paso 2.2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} (t + 1) t^{- 2} d t$

Paso 2.2.3

Multiplica $t^{\frac{1}{2}}$ por $t^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.3.1

Mueve $t^{- 2}$ .

$\int t^{- 2} t^{\frac{1}{2}} (t + 1) d t$

Paso 2.2.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int t^{- 2 + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

Paso 2.2.3.3

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{- 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

Paso 2.2.3.4

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{\frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

Paso 2.2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int t^{\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2}} (t + 1) d t$

Paso 2.2.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.3.6.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\int t^{\frac{- 4 + 1}{2}} (t + 1) d t$

Paso 2.2.3.6.2

Suma $- 4$ y $1$ .

$\int t^{\frac{- 3}{2}} (t + 1) d t$

Paso 2.2.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int t^{- \frac{3}{2}} (t + 1) d t$

Paso 3

Expande $t^{- \frac{3}{2}} (t + 1)$ .

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int t^{- \frac{3}{2}} t + t^{- \frac{3}{2}} \cdot 1 d t$

Paso 3.2

Reordena $t^{- \frac{3}{2}}$ y $1$ .

$\int t^{- \frac{3}{2}} t + 1 \cdot t^{- \frac{3}{2}} d t$

Paso 3.3

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\int t^{- \frac{3}{2}} t^{1} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int t^{- \frac{3}{2} + 1} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Paso 3.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int t^{- \frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Paso 3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int t^{\frac{- 3 + 2}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Paso 3.7

Suma $- 3$ y $2$ .

$\int t^{\frac{- 1}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Paso 3.8

Multiplica $t^{- \frac{3}{2}}$ por $1$ .

$\int t^{\frac{- 1}{2}} + t^{- \frac{3}{2}} d t$

Paso 4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{- \frac{3}{2}} d t$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $t$ es $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{- \frac{3}{2}}$ con respecto a $t$ es $- 2 t^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C - 2 t^{- \frac{1}{2}} + C$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica.

$2 t^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 8.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 t^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + C$