Cálculo Ejemplos

$\int \sin^{2} (4 x) d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = 4 x$ . Entonces $d u_{1} = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = 4 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 1.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

Paso 2

Combina $\sin^{2} (u_{1})$ y $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 4

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{1}{8} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 10

Sea $u_{2} = 2 u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 10.1

Deja $u_{2} = 2 u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Paso 10.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $2 u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 10.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Paso 11

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Paso 13

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Paso 14

Simplifica.

$\frac{1}{8} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Paso 15

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 15.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x$ .

$\frac{1}{8} (4 x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Paso 15.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{8} (4 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Paso 15.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x$ .

$\frac{1}{8} (4 x - \frac{1}{2} \sin (2 (4 x))) + C$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.1.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{1}{8} (4 x - \frac{1}{2} \sin (8 x)) + C$

Paso 16.1.2

Combina $\sin (8 x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (4 x - \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

Paso 16.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{8} (4 x) + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

Paso 16.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 16.3.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{1}{4 (2)} (4 x) + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

Paso 16.3.2

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\frac{1}{4 (2)} (4 (x)) + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

Paso 16.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 2} (4 x) + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

Paso 16.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

Paso 16.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

Paso 16.5

Multiplica $\frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2})$ .

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Paso 16.5.1

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $\frac{\sin (8 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (8 x)}{8 \cdot 2} + C$

Paso 16.5.2

Multiplica $8$ por $2$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (8 x)}{16} + C$

Paso 17

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{16} \sin (8 x) + C$