Cálculo Ejemplos

$\int 2 \sec (4 x) \tan (4 x) d x$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \sec (4 x) \tan (4 x) d x$

Paso 2

Sea $u_{2} = \sec (4 x)$ . Entonces $d u_{2} = 4 \sec (4 x) \tan (4 x) d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{2} = \sec (4 x) \tan (4 x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{2} = \sec (4 x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $\sec (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.1.2.2

La derivada de $\sec (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x$ .

$\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)$

Paso 2.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.3.3.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$\sec (4 x) \tan (4 x) \cdot 4$

Paso 2.1.3.3.2

Mueve $4$ a la izquierda de $\sec (4 x) \tan (4 x)$ .

$4 \sec (4 x) \tan (4 x)$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{4} d u_{2}$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$2 (\frac{1}{4} u_{2} + C)$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Reescribe $2 (\frac{1}{4} u_{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{4}) u_{2} + C$ .

$2 (\frac{1}{4}) u_{2} + C$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} u_{2} + C$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 4.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} u_{2} + C$

Paso 4.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u_{2} + C$

Paso 4.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u_{2} + C$

Paso 4.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} u_{2} + C$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sec (4 x)$ .

$\frac{1}{2} \sec (4 x) + C$