Cálculo Ejemplos

$\int_{- 20}^{- 1} \frac{3}{e^{- z}} - \frac{1}{3 z} d z$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 20}^{- 1} \frac{3}{e^{- z}} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Paso 2

Dado que $3$ es constante con respecto a $z$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{- 20}^{- 1} \frac{1}{e^{- z}} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Niega el exponente de $e^{- z}$ y quítalo del denominador.

$3 \int_{- 20}^{- 1} 1 {(e^{- z})}^{- 1} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{- z})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int_{- 20}^{- 1} 1 e^{- z \cdot - 1} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $- z \cdot - 1$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$3 \int_{- 20}^{- 1} 1 e^{1 z} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Paso 3.2.1.2.2

Multiplica $z$ por $1$ .

$3 \int_{- 20}^{- 1} 1 e^{z} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Paso 3.2.2

Multiplica $e^{z}$ por $1$ .

$3 \int_{- 20}^{- 1} e^{z} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Paso 4

La integral de $e^{z}$ con respecto a $z$ es $e^{z}$ .

$3 (e^{z}]_{- 20}^{- 1}) + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $z$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$3 (e^{z}]_{- 20}^{- 1}) - \int_{- 20}^{- 1} \frac{1}{3 z} d z$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $z$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$3 (e^{z}]_{- 20}^{- 1}) - (\frac{1}{3} \int_{- 20}^{- 1} \frac{1}{z} d z)$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{z}$ con respecto a $z$ es $\ln (| z |)$ .

$3 (e^{z}]_{- 20}^{- 1}) - \frac{1}{3} \ln (| z |)]_{- 20}^{- 1}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1.1

Evalúa $e^{z}$ en $- 1$ y en $- 20$ .

$3 ((e^{- 1}) - e^{- 20}) - \frac{1}{3} \ln (| z |)]_{- 20}^{- 1}$

Paso 8.1.2

Evalúa $\ln (| z |)$ en $- 1$ y en $- 20$ .

$3 ((e^{- 1}) - e^{- 20}) - \frac{1}{3} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 20 |))$

Paso 8.1.3

Elimina los paréntesis.

$3 (e^{- 1} - e^{- 20}) - \frac{1}{3} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 20 |))$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$3 (e^{- 1} - e^{- 20}) - \frac{1}{3} \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})$

Paso 8.2.2

Combina $\ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})$ y $\frac{1}{3}$ .

$3 (e^{- 1} - e^{- 20}) - \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Paso 8.2.3

Para escribir $3 (e^{- 1} - e^{- 20})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 (e^{- 1} - e^{- 20}) \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Paso 8.2.4

Combina $3 (e^{- 1} - e^{- 20})$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 (e^{- 1} - e^{- 20}) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Paso 8.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 (e^{- 1} - e^{- 20}) \cdot 3 - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Paso 8.2.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{9 (e^{- 1} - e^{- 20}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9 (e^{- 1} - \frac{1}{e^{20}}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Paso 8.3.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9 (\frac{1}{e} - \frac{1}{e^{20}}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Paso 8.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 \frac{1}{e} + 9 (- \frac{1}{e^{20}}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Paso 8.3.4

Combina $9$ y $\frac{1}{e}$ .

$\frac{\frac{9}{e} + 9 (- \frac{1}{e^{20}}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Paso 8.3.5

Multiplica $9 (- \frac{1}{e^{20}})$ .

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Paso 8.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{\frac{9}{e} - 9 \frac{1}{e^{20}} - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Paso 8.3.5.2

Combina $- 9$ y $\frac{1}{e^{20}}$ .

$\frac{\frac{9}{e} + \frac{- 9}{e^{20}} - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Paso 8.3.6

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 1$ y $0$ es $1$ .

$\frac{\frac{9}{e} + \frac{- 9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{| - 20 |})}{3}$

Paso 8.3.7

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 20$ y $0$ es $20$ .

$\frac{\frac{9}{e} + \frac{- 9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Paso 8.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{9}{e} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Paso 8.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.9.1

Para escribir $\frac{9}{e}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e^{19}}{e^{19}}$ .

$\frac{\frac{9}{e} \cdot \frac{e^{19}}{e^{19}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Paso 8.3.9.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $e^{20}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.3.9.2.1

Multiplica $\frac{9}{e}$ por $\frac{e^{19}}{e^{19}}$ .

$\frac{\frac{9 e^{19}}{e e^{19}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Paso 8.3.9.2.2

Multiplica $e$ por $e^{19}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.3.9.2.2.1

Multiplica $e$ por $e^{19}$ .

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Paso 8.3.9.2.2.1.1

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{9 e^{19}}{e^{1} e^{19}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Paso 8.3.9.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{9 e^{19}}{e^{1 + 19}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Paso 8.3.9.2.2.2

Suma $1$ y $19$ .

$\frac{\frac{9 e^{19}}{e^{20}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Paso 8.3.9.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{9 e^{19} - 9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Paso 8.3.9.4

Para escribir $- \ln (\frac{1}{20})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e^{20}}{e^{20}}$ .

$\frac{\frac{9 e^{19} - 9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20}) \cdot \frac{e^{20}}{e^{20}}}{3}$

Paso 8.3.9.5

Combina $- \ln (\frac{1}{20})$ y $\frac{e^{20}}{e^{20}}$ .

$\frac{\frac{9 e^{19} - 9}{e^{20}} + \frac{- \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20}}}{3}$

Paso 8.3.9.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20}}}{3}$

Paso 8.3.10

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20}} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 8.3.11

Multiplica $\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20} \cdot 3}$

Paso 8.3.12

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{20}$ .

$\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{3 \cdot e^{20}}$

Paso 8.3.13

Reordena los factores en $\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{3 e^{20}}$ .

$\frac{9 e^{19} - 9 - e^{20} \ln (\frac{1}{20})}{3 e^{20}}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{9 e^{19} - 9 - e^{20} \ln (\frac{1}{20})}{3 e^{20}}$

Forma decimal:

$2.10221574 \dots$

Paso 10