Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(x + 3)}^{4}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = x + 3$ .

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Paso 1.1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 3$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x + 3)$

Paso 1.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Paso 1.1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 3$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Paso 1.1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (3))$

Paso 1.1.1.2.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} (1 + 0)$

Paso 1.1.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} \cdot 1$

Paso 1.1.1.2.4.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 {(x + 3)}^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{3})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x + 3$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 3))$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Paso 1.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 {(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Paso 1.1.2.3

Diferencia.

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Paso 1.1.2.3.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 ({(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Paso 1.1.2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

Paso 1.1.2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (3))$

Paso 1.1.2.3.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)$

Paso 1.1.2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2} \cdot 1$

Paso 1.1.2.3.5.2

Multiplica $12$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 {(x + 3)}^{2}$ .

$12 {(x + 3)}^{2}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $12 {(x + 3)}^{2} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$12 {(x + 3)}^{2} = 0$

Paso 1.2.2

Divide cada término en $12 {(x + 3)}^{2} = 0$ por $12$ y simplifica.

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Paso 1.2.2.1

Divide cada término en $12 {(x + 3)}^{2} = 0$ por $12$ .

$\frac{12 {(x + 3)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 {(x + 3)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Paso 1.2.2.2.1.2

Divide ${(x + 3)}^{2}$ por $1$ .

${(x + 3)}^{2} = \frac{0}{12}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

Divide $0$ por $12$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Paso 1.2.3

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 1.2.4

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 3)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f'' (- 6) = 12 {((- 6) + 3)}^{2}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Suma $- 6$ y $3$ .

$f'' (- 6) = 12 {(- 3)}^{2}$

Paso 4.2.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 6) = 12 \cdot 9$

Paso 4.2.3

Multiplica $12$ por $9$ .

$f'' (- 6) = 108$

Paso 4.2.4

La respuesta final es $108$ .

$108$

Paso 4.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, - 3)$ porque $f'' (- 6)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, - 3)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 3, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = 12 {((0) + 3)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Suma $0$ y $3$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 3^{2}$

Paso 5.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 9$

Paso 5.2.3

Multiplica $12$ por $9$ .

$f'' (0) = 108$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $108$ .

$108$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- 3, \infty)$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- 3, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, - 3)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Convexo en $(- 3, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7