Cálculo Ejemplos

e^{5 x} + e^{- x}

$e^{5 x} + e^{- x}$

Paso 1

Escribe

e^{5 x} + e^{- x}

$e^{5 x} + e^{- x}$ como una función.

f (x) = e^{5 x} + e^{- x}

$f (x) = e^{5 x} + e^{- x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de

e^{5 x} + e^{- x}

$e^{5 x} + e^{- x}$ con respecto a

x

$x$ es

\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]

$\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]

$\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 2.1.2

Evalúa

\frac{d}{d x} [e^{5 x}]

$\frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ donde

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ y

g (x) = 5 x

$g (x) = 5 x$ .

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Paso 2.1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece

u_{1}

$u_{1}$ como

5 x

$5 x$ .

\frac{d}{d u_{1}} [e_{1}^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 2.1.2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que

\frac{d}{d u_{1}} [a_{1}^{u_{1}}]

$\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es

a_{1}^{u_{1}} ln (a)

$a^{u_{1}} \ln (a)$ donde

a

$a$ =

e

$e$ .

e_{1}^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 2.1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de

u_{1}

$u_{1}$ con

5 x

$5 x$ .

e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]

$e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]

$e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 2.1.2.2

Como

5

$5$ es constante con respecto a

x

$x$ , la derivada de

5 x

$5 x$ con respecto a

x

$x$ es

5 \frac{d}{d x} [x]

$5 \frac{d}{d x} [x]$ .

e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]

$e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 2.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 1

$n = 1$ .

e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]

$e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 2.1.2.4

Multiplica

5

$5$ por

1

$1$ .

e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]

$e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 2.1.2.5

Mueve

5

$5$ a la izquierda de

e^{5 x}

$e^{5 x}$ .

5 e^{5 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]

$5 e^{5 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

5 e^{5 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]

$5 e^{5 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 2.1.3

Evalúa

\frac{d}{d x} [e^{- x}]

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ donde

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ y

g (x) = - x

$g (x) = - x$ .

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Paso 2.1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece

u_{2}

$u_{2}$ como

- x

$- x$ .

5 e^{5 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e_{2}^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]

$5 e^{5 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.1.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que

\frac{d}{d u_{2}} [a_{2}^{u_{2}}]

$\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es

a_{2}^{u_{2}} ln (a)

$a^{u_{2}} \ln (a)$ donde

a

$a$ =

e

$e$ .

5 e^{5 x} + e_{2}^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]

$5 e^{5 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de

u_{2}

$u_{2}$ con

- x

$- x$ .

5 e^{5 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]

$5 e^{5 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

5 e^{5 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]

$5 e^{5 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.1.3.2

Como

- 1

$- 1$ es constante con respecto a

x

$x$ , la derivada de

- x

$- x$ con respecto a

x

$x$ es

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$ .

5 e^{5 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])

$5 e^{5 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 1

$n = 1$ .

5 e^{5 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)

$5 e^{5 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Paso 2.1.3.4

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

5 e^{5 x} + e^{- x} \cdot - 1

$5 e^{5 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Paso 2.1.3.5

Mueve

- 1

$- 1$ a la izquierda de

e^{- x}

$e^{- x}$ .

5 e^{5 x} - 1 \cdot e^{- x}

$5 e^{5 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Paso 2.1.3.6

Reescribe

- 1 e^{- x}

$- 1 e^{- x}$ como

- e^{- x}

$- e^{- x}$ .

f' (x) = 5 e^{5 x} - e^{- x}

$f' (x) = 5 e^{5 x} - e^{- x}$

f' (x) = 5 e^{5 x} - e^{- x}

$f' (x) = 5 e^{5 x} - e^{- x}$

f' (x) = 5 e^{5 x} - e^{- x}

$f' (x) = 5 e^{5 x} - e^{- x}$

Paso 2.2

La primera derivada de

f (x)

$f (x)$ con respecto a

x

$x$ es

5 e^{5 x} - e^{- x}

$5 e^{5 x} - e^{- x}$ .

5 e^{5 x} - e^{- x}

$5 e^{5 x} - e^{- x}$

5 e^{5 x} - e^{- x}

$5 e^{5 x} - e^{- x}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a

0

$0$ , luego resuelve la ecuación

5 e^{5 x} - e^{- x} = 0

$5 e^{5 x} - e^{- x} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a

0

$0$ .

5 e^{5 x} - e^{- x} = 0

$5 e^{5 x} - e^{- x} = 0$

Paso 3.2

Mueve

- e^{- x}

$- e^{- x}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma en ambos lados.

5 e^{5 x} = e^{- x}

$5 e^{5 x} = e^{- x}$

Paso 3.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

ln (5 e^{5 x}) = ln (e^{- x})

$\ln (5 e^{5 x}) = \ln (e^{- x})$

Paso 3.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Reescribe

ln (5 e^{5 x})

$\ln (5 e^{5 x})$ como

ln (5) + ln (e^{5 x})

$\ln (5) + \ln (e^{5 x})$ .

ln (5) + ln (e^{5 x}) = ln (e^{- x})

$\ln (5) + \ln (e^{5 x}) = \ln (e^{- x})$

Paso 3.4.2

Expande

ln (e^{5 x})

$\ln (e^{5 x})$ ; para ello, mueve

5 x

$5 x$ fuera del logaritmo.

ln (5) + 5 x ln (e) = ln (e^{- x})

$\ln (5) + 5 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Paso 3.4.3

El logaritmo natural de

e

$e$ es

1

$1$ .

ln (5) + 5 x \cdot 1 = ln (e^{- x})

$\ln (5) + 5 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Paso 3.4.4

Multiplica

5

$5$ por

1

$1$ .

ln (5) + 5 x = ln (e^{- x})

$\ln (5) + 5 x = \ln (e^{- x})$

ln (5) + 5 x = ln (e^{- x})

$\ln (5) + 5 x = \ln (e^{- x})$

Paso 3.5

Expande el lado derecho.

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Paso 3.5.1

Expande

ln (e^{- x})

$\ln (e^{- x})$ ; para ello, mueve

- x

$- x$ fuera del logaritmo.

ln (5) + 5 x = - x ln (e)

$\ln (5) + 5 x = - x \ln (e)$

Paso 3.5.2

El logaritmo natural de

e

$e$ es

1

$1$ .

ln (5) + 5 x = - x \cdot 1

$\ln (5) + 5 x = - x \cdot 1$

Paso 3.5.3

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

ln (5) + 5 x = - x

$\ln (5) + 5 x = - x$

ln (5) + 5 x = - x

$\ln (5) + 5 x = - x$

Paso 3.6

Mueve todos los términos que contengan

x

$x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.6.1

Suma

x

$x$ a ambos lados de la ecuación.

ln (5) + 5 x + x = 0

$\ln (5) + 5 x + x = 0$

Paso 3.6.2

Suma

5 x

$5 x$ y

x

$x$ .

ln (5) + 6 x = 0

$\ln (5) + 6 x = 0$

ln (5) + 6 x = 0

$\ln (5) + 6 x = 0$

Paso 3.7

Resta

ln (5)

$\ln (5)$ de ambos lados de la ecuación.

6 x = - ln (5)

$6 x = - \ln (5)$

Paso 3.8

Divide cada término en

6 x = - ln (5)

$6 x = - \ln (5)$ por

6

$6$ y simplifica.

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Paso 3.8.1

Divide cada término en

6 x = - ln (5)

$6 x = - \ln (5)$ por

6

$6$ .

\frac{6 x}{6} = \frac{- ln (5)}{6}

$\frac{6 x}{6} = \frac{- \ln (5)}{6}$

Paso 3.8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.8.2.1

Cancela el factor común de

6

$6$ .

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Paso 3.8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- \ln (5)}{6}$

Paso 3.8.2.1.2

Divide

$x$ por

$1$ .

$x = \frac{- \ln (5)}{6}$

Paso 3.8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.8.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (5)}{6}$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a

$0$ son

$- \frac{\ln (5)}{6}$ .

$- \frac{\ln (5)}{6}$

Paso 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada

$f' (x) = 5 e^{5 x} - e^{- x}$ sea igual a

$0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde

$f (x) = e^{5 x} + e^{- x}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es

$(- \infty, - \frac{\ln (5)}{6}) \cup (- \frac{\ln (5)}{6}, \infty)$ .

$(- \infty, - \frac{\ln (5)}{6}) \cup (- \frac{\ln (5)}{6}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo

$(- \infty, - \frac{\ln (5)}{6})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$- 1.26823965$ en la expresión.

$f' (- 1.26823965) = 5 e^{5 (- 1.26823965)} - e^{- (- 1.26823965)}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Multiplica

$5$ por

$- 1.26823965$ .

$f' (- 1.26823965) = 5 e^{- 6.34119826} - e^{- (- 1.26823965)}$

Paso 6.2.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.26823965) = 5 (\frac{1}{e^{6.34119826}}) - e^{- (- 1.26823965)}$

Paso 6.2.1.3

Combina

$5$ y

$\frac{1}{e^{6.34119826}}$ .

$f' (- 1.26823965) = \frac{5}{e^{6.34119826}} - e^{- (- 1.26823965)}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica

$- 1$ por

$- 1.26823965$ .

$f' (- 1.26823965) = \frac{5}{e^{6.34119826}} - e^{1.26823965}$

Paso 6.2.2

La respuesta final es

$\frac{5}{e^{6.34119826}} - e^{1.26823965}$ .

$\frac{5}{e^{6.34119826}} - e^{1.26823965}$

Paso 6.3

Simplifica.

$- 3.54577878$

Paso 6.4

$x = - 1.26823965$ la derivada es

$- 3.54577878$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en

$(- \infty, - \frac{\ln (5)}{6})$ .

Decrecimiento en

$(- \infty, - \frac{\ln (5)}{6})$ desde

$f' (x) < 0$

Decrecimiento en

$(- \infty, - \frac{\ln (5)}{6})$ desde

$f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo

$(- \frac{\ln (5)}{6}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$0.73176034$ en la expresión.

$f' (0.73176034) = 5 e^{5 (0.73176034)} - e^{- (0.73176034)}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Multiplica

$5$ por

$0.73176034$ .

$f' (0.73176034) = 5 e^{3.65880173} - e^{- (0.73176034)}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica

$- 1$ por

$0.73176034$ .

$f' (0.73176034) = 5 e^{3.65880173} - e^{- 0.73176034}$

Paso 7.2.1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.73176034) = 5 e^{3.65880173} - \frac{1}{e^{0.73176034}}$

Paso 7.2.2

La respuesta final es

$5 e^{3.65880173} - \frac{1}{e^{0.73176034}}$ .

$5 e^{3.65880173} - \frac{1}{e^{0.73176034}}$

Paso 7.3

Simplifica.

$193.59296235$

Paso 7.4

$x = 0.73176034$ la derivada es

$193.59296235$ . Dado que es positivo, la función aumenta en

$(- \frac{\ln (5)}{6}, \infty)$ .

Incremento en

$(- \frac{\ln (5)}{6}, \infty)$ ya que

$f' (x) > 0$

Incremento en

$(- \frac{\ln (5)}{6}, \infty)$ ya que

$f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en:

$(- \frac{\ln (5)}{6}, \infty)$

Decrecimiento en:

$(- \infty, - \frac{\ln (5)}{6})$

Paso 9