Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 \sin (x) - 1$

Paso 1

Escribe $f (x) = 2 \sin (x) - 1$ como una ecuación.

$y = 2 \sin (x) - 1$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 2 \sin (y) - 1$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $2 \sin (y) - 1 = x$ .

$2 \sin (y) - 1 = x$

Paso 3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \sin (y) = x + 1$

Paso 3.3

Divide cada término en $2 \sin (y) = x + 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $2 \sin (y) = x + 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (y)}{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (y)}{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $\sin (y)$ por $1$ .

$\sin (y) = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 3.4

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de seno.

$y = \arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$ es la inversa de $f (x) = 2 \sin (x) - 1$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (2 \sin (x) - 1)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sin (x) - 1) = \arcsin (\frac{2 \sin (x) - 1}{2} + \frac{1}{2})$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (2 \sin (x) - 1) = \arcsin (\frac{2 \sin (x) - 1 + 1}{2})$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $2 \sin (x) - 1 + 1$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (2 \sin (x) - 1) = \arcsin (\frac{2 \sin (x) + 0}{2})$

Paso 5.2.4.2

Suma $2 \sin (x)$ y $0$ .

$f^{- 1} (2 \sin (x) - 1) = \arcsin (\frac{2 \sin (x)}{2})$

Paso 5.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.5.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (2 \sin (x) - 1) = \arcsin (\frac{2 \sin (x)}{2})$

Paso 5.2.5.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 \sin (x) - 1) = \arcsin (\sin (x))$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2}))$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) - 1$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Las funciones seno y arcoseno son inversas.

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = 2 (\frac{x}{2} + \frac{1}{2}) - 1$

Paso 5.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Paso 5.3.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Cancela el factor común.

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Paso 5.3.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = x + 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Paso 5.3.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = x + 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Paso 5.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = x + 1 - 1$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 1 - 1$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$ es la inversa de $f (x) = 2 \sin (x) - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$