Cálculo Ejemplos

$\int_{- 2}^{4} 2 + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 2}^{4} 2 d y + \int_{- 2}^{4} \frac{1}{2} y d y + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Paso 2

Aplica la regla de la constante.

$2 y]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} \frac{1}{2} y d y + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{4} y d y + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Paso 5

Dado que $- \frac{1}{4}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- \frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} \int_{- 2}^{4} y^{2} d y$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{4}$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $2 y$ en $4$ y en $- 2$ .

$(2 \cdot 4) - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{4}$

Paso 7.2

Evalúa $\frac{1}{2} y^{2}$ en $4$ y en $- 2$ .

$2 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{4}$

Paso 7.3

Evalúa $\frac{1}{3} y^{3}$ en $4$ y en $- 2$ .

$2 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4

Simplifica.

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Paso 7.4.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4.2

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$8 + 4 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4.3

Suma $8$ y $4$ .

$12 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$12 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $16$ .

$12 + \frac{1}{2} (\frac{16}{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4.6

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 7.4.6.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$12 + \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.4.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$12 + \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4.6.2.2

Cancela el factor común.

$12 + \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4.6.2.3

Reescribe la expresión.

$12 + \frac{1}{2} (\frac{8}{1} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4.6.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4.7

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 - \frac{1}{2} \cdot 4) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4.8

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 - 4 (\frac{1}{2})) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4.9

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{- 4}{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4.10

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 7.4.10.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{2 \cdot - 2}{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.4.10.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4.10.2.2

Cancela el factor común.

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4.10.2.3

Reescribe la expresión.

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{- 2}{1}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4.10.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4.11

Resta $2$ de $8$ .

$12 + \frac{1}{2} \cdot 6 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4.12

Combina $\frac{1}{2}$ y $6$ .

$12 + \frac{6}{2} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4.13

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 7.4.13.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.4.13.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4.13.2.2

Cancela el factor común.

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4.13.2.3

Reescribe la expresión.

$12 + \frac{3}{1} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4.13.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$12 + 3 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4.14

Suma $12$ y $3$ .

$15 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4.15

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$15 - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4.16

Combina $\frac{1}{3}$ y $64$ .

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 7.4.17

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 8)$

Paso 7.4.18

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} + 8 (\frac{1}{3}))$

Paso 7.4.19

Combina $8$ y $\frac{1}{3}$ .

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} + \frac{8}{3})$

Paso 7.4.20

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{64 + 8}{3}$

Paso 7.4.21

Suma $64$ y $8$ .

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{72}{3}$

Paso 7.4.22

Cancela el factor común de $72$ y $3$ .

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Paso 7.4.22.1

Factoriza $3$ de $72$ .

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3}$

Paso 7.4.22.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.4.22.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 (1)}$

Paso 7.4.22.2.2

Cancela el factor común.

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 1}$

Paso 7.4.22.2.3

Reescribe la expresión.

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{24}{1}$

Paso 7.4.22.2.4

Divide $24$ por $1$ .

$15 - \frac{1}{4} \cdot 24$

Paso 7.4.23

Multiplica $24$ por $- 1$ .

$15 - 24 (\frac{1}{4})$

Paso 7.4.24

Combina $- 24$ y $\frac{1}{4}$ .

$15 + \frac{- 24}{4}$

Paso 7.4.25

Cancela el factor común de $- 24$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.25.1

Factoriza $4$ de $- 24$ .

$15 + \frac{4 \cdot - 6}{4}$

Paso 7.4.25.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.25.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$15 + \frac{4 \cdot - 6}{4 (1)}$

Paso 7.4.25.2.2

Cancela el factor común.

$15 + \frac{4 \cdot - 6}{4 \cdot 1}$

Paso 7.4.25.2.3

Reescribe la expresión.

$15 + \frac{- 6}{1}$

Paso 7.4.25.2.4

Divide $- 6$ por $1$ .

$15 - 6$

Paso 7.4.26

Resta $6$ de $15$ .

$9$

Paso 8