Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{3} \frac{6 x^{2}}{8 x^{3} + 1} d x$

Paso 1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{8 x^{3} + 1} d x$

Paso 2

Reescribe $x^{3}$ como ${(x^{3})}^{1}$ .

$6 \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{8 {(x^{3})}^{1} + 1} d x$

Paso 3

Sea $u_{1} = x^{3}$ . Entonces $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{1} = x^{3}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = x^{3}$ .

$u_{lower} = 1^{3}$

Paso 3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{lower} = 1$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = x^{3}$ .

$u_{upper} = 3^{3}$

Paso 3.5

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$u_{upper} = 27$

Paso 3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 27$

Paso 3.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 {u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica.

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{8 u_{1} + 1}$ por $\frac{1}{3}$ .

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{(8 u_{1} + 1) \cdot 3} d u_{1}$

Paso 4.3

Mueve $3$ a la izquierda de $8 u_{1} + 1$ .

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{3 (8 u_{1} + 1)} d u_{1}$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$6 (\frac{1}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $6$ .

$\frac{6}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Paso 6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Paso 6.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Paso 6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Paso 6.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Paso 7

Sea $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ . Entonces $d u_{2} = 8 d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{8} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 7.1

Deja $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $8 u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1} + 1]$

Paso 7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $8 u_{1} + 1$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Paso 7.1.3

Evalúa $\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}]$ .

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Paso 7.1.3.1

Como $8$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $8 u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $8 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$8 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Paso 7.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Paso 7.1.3.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$8 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Paso 7.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 7.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $1$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$8 + 0$

Paso 7.1.4.2

Suma $8$ y $0$ .

$8$

Paso 7.2

Sustituye el límite inferior por $u_{1}$ en $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 1 + 1$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Multiplica $8$ por $1$ .

$u_{lower} = 8 + 1$

Paso 7.3.2

Suma $8$ y $1$ .

$u_{lower} = 9$

Paso 7.4

Sustituye el límite superior por $u_{1}$ en $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ .

$u_{upper} = 8 \cdot 27 + 1$

Paso 7.5

Simplifica.

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Paso 7.5.1

Multiplica $8$ por $27$ .

$u_{upper} = 216 + 1$

Paso 7.5.2

Suma $216$ y $1$ .

$u_{upper} = 217$

Paso 7.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 217$

Paso 7.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{8} d u_{2}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{8}$ .

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2} \cdot 8} d u_{2}$

Paso 8.2

Mueve $8$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{8 u_{2}} d u_{2}$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Combina $\frac{1}{8}$ y $2$ .

$\frac{2}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 10.2

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

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Paso 10.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 10.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 10.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 10.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 11

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u_{2} |)]_{9}^{217}$

Paso 12

Evalúa $\ln (| u_{2} |)$ en $217$ y en $9$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| 217 |) - \ln (| 9 |))$

Paso 13

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Paso 13.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})$

Paso 13.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $\ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})}{4}$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $217$ es $217$ .

$\frac{\ln (\frac{217}{| 9 |})}{4}$

Paso 14.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $9$ es $9$ .

$\frac{\ln (\frac{217}{9})}{4}$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\ln (\frac{217}{9})}{4}$

Forma decimal:

$0.79566819 \dots$

Paso 16