Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2} - 1}{x} d x$

Paso 1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} + \frac{- 1}{x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Paso 3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Paso 3.1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Paso 3.1.2.3

Cancela el factor común.

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Paso 3.1.2.4

Reescribe la expresión.

$\int_{1}^{e} \frac{x}{1} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Paso 3.1.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Paso 3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1.1

Evalúa $\frac{1}{2} x^{2}$ en $e$ y en $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Paso 7.1.2

Evalúa $\ln (| x |)$ en $e$ y en $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 7.1.3

Simplifica.

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Paso 7.1.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 7.1.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 7.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 7.1.3.4

Para escribir $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 7.1.3.5

Combina $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \frac{- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 7.1.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{2} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 7.1.3.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 7.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - 1}{2}$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

$e$ es aproximadamente $2.71828182$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{e}{| 1 |}) - 1}{2}$

Paso 7.3.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{e}{1}) - 1}{2}$

Paso 7.3.3

Divide $e$ por $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 \ln (e) - 1}{2}$

Paso 7.3.4

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 \cdot 1 - 1}{2}$

Paso 7.3.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 - 1}{2}$

Paso 7.3.6

Resta $1$ de $- 2$ .

$\frac{e^{2} - 3}{2}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{e^{2} - 3}{2}$

Forma decimal:

$2.19452804 \dots$

Paso 9