Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{e} \frac{4 x^{3} - 3 x}{x^{2}} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Factoriza $x$ de $4 x^{3} - 3 x$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x$ de $4 x^{3}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2}) - 3 x}{x^{2}} d x$

Paso 1.1.2

Factoriza $x$ de $- 3 x$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2}) + x \cdot - 3}{x^{2}} d x$

Paso 1.1.3

Factoriza $x$ de $x (4 x^{2}) + x \cdot - 3$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2} - 3)}{x^{2}} d x$

Paso 1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2} - 3)}{x \cdot x} d x$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2} - 3)}{x \cdot x} d x$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\int_{1}^{e} \frac{4 x^{2} - 3}{x} d x$

Paso 2

Divide $4 x^{2} - 3$ por $x$ .

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Paso 2.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$3$

Paso 2.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$4 x$
	$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$

Paso 2.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			+	$4 x^{2}$	+	$0$

Paso 2.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x^{2} + 0$ .

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$4 x^{2}$	-	$0$

Paso 2.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$4 x^{2}$	-	$0$
						$0$

Paso 2.6

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$4 x^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$3$

Paso 2.7

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int_{1}^{e} 4 x - \frac{3}{x} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{e} 4 x d x + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

Paso 4

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

Paso 6

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - \int_{1}^{e} \frac{3}{x} d x$

Paso 8

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - (3 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x)$

Paso 9

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 3 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 3 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 11.1.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $e$ y en $1$ .

$4 ((\frac{e^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Paso 11.1.2

Evalúa $\ln (| x |)$ en $e$ y en $1$ .

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Paso 11.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Paso 11.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Paso 11.3

Simplifica.

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Paso 11.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Paso 11.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Paso 11.3.2.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 2 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Paso 11.3.2.3

Reescribe la expresión.

$2 e^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Paso 11.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$2 e^{2} + 4 (\frac{- 1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Paso 11.3.3.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 e^{2} + 2 (2) \frac{- 1}{2} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Paso 11.3.3.3

Cancela el factor común.

$2 e^{2} + 2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Paso 11.3.3.4

Reescribe la expresión.

$2 e^{2} + 2 \cdot - 1 - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Paso 11.3.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Paso 11.3.5

$e$ es aproximadamente $2.71828182$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (\frac{e}{| 1 |})$

Paso 11.3.6

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (\frac{e}{1})$

Paso 11.3.7

Divide $e$ por $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (e)$

Paso 11.3.8

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3 \cdot 1$

Paso 11.3.9

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3$

Paso 11.3.10

Resta $3$ de $- 2$ .

$2 e^{2} - 5$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 e^{2} - 5$

Forma decimal:

$9.77811219 \dots$

Paso 13