Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{e} \ln (5 x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (5 x)$ y $d v = 1$ .

$\ln (5 x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\ln (5 x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (5 x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x$

Paso 2.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (5 x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (5 x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e})$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.1

Evalúa $\ln (5 x) x$ en $e$ y en $1$ .

$(\ln (5 e) e) - \ln (5 \cdot 1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e})$

Paso 4.2

Evalúa $x$ en $e$ y en $1$ .

$(\ln (5 e) e) - \ln (5 \cdot 1) \cdot 1 - ((e) - 1)$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$\ln (5 e) e - \ln (5) \cdot 1 - ((e) - 1)$

Paso 4.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\ln (5 e) e - \ln (5) - (e - 1)$

Paso 5

Simplifica cada término.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (5 e) e - \ln (5) - e - - 1$

Paso 5.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (5 e) e - \ln (5) - e + 1$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\ln (5 e) e - \ln (5) - e + 1$

Forma decimal:

$3.76546791 \dots$