Cálculo Ejemplos

$\int 12 \sqrt[3]{\cos (x)} \sin (x) d x$

Paso 1

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$12 \int \sqrt[3]{\cos (x)} \sin (x) d x$

Paso 2

Sea $u = \cos (x)$ . Entonces $d u = - \sin (x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$12 \int - \sqrt[3]{u} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$12 (- \int \sqrt[3]{u} d u)$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$- 12 \int \sqrt[3]{u} d u$

Paso 4.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- 12 \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$- 12 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe $- 12 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ como $- 12 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$- 12 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Combina $- 12$ y $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 12 \cdot 3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 6.2.2

Multiplica $- 12$ por $3$ .

$\frac{- 36}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $- 36$ y $4$ .

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Paso 6.2.3.1

Factoriza $4$ de $- 36$ .

$\frac{4 \cdot - 9}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 6.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot - 9}{4 (1)} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 6.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot - 9}{4 \cdot 1} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 6.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 9}{1} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 6.2.3.2.4

Divide $- 9$ por $1$ .

$- 9 u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$- 9 {\cos (x)}^{\frac{4}{3}} + C$