Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{120} 10 + \sqrt{t} d t$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{120} 10 d t + \int_{0}^{120} \sqrt{t} d t$

Paso 2

Aplica la regla de la constante.

$10 t]_{0}^{120} + \int_{0}^{120} \sqrt{t} d t$

Paso 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$10 t]_{0}^{120} + \int_{0}^{120} t^{\frac{1}{2}} d t$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$10 t]_{0}^{120} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_{0}^{120}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combina $10 t]_{0}^{120}$ y $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_{0}^{120}$ .

$10 t + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_{0}^{120}$

Paso 5.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.2.1

Evalúa $10 t + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ en $120$ y en $0$ .

$(10 \cdot 120 + \frac{2}{3} \cdot 120^{\frac{3}{2}}) - (10 \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 5.2.2

Simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Multiplica $10$ por $120$ .

$1200 + \frac{2}{3} \cdot 120^{\frac{3}{2}} - (10 \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 5.2.2.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $120^{\frac{3}{2}}$ .

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (10 \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 5.2.2.3

Multiplica $10$ por $0$ .

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 5.2.2.4

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Paso 5.2.2.5

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Paso 5.2.2.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.6.1

Cancela el factor común.

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Paso 5.2.2.6.2

Reescribe la expresión.

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Paso 5.2.2.7

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

Paso 5.2.2.8

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $0$ .

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + 0)$

Paso 5.2.2.9

Suma $0$ y $0$ .

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - 0$

Paso 5.2.2.10

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} + 0$

Paso 5.2.2.11

Suma $1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3}$ y $0$ .

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3}$

Forma decimal:

$2076.35609200 \dots$

Paso 7