Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{10} \frac{24 t}{2 t + 3} d t$

Paso 1

Dado que $24$ es constante con respecto a $t$ , mueve $24$ fuera de la integral.

$24 \int_{0}^{10} \frac{t}{2 t + 3} d t$

Paso 2

Divide $t$ por $2 t + 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 t$

$3$

$t$

$0$

Paso 2.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $t$ por el término de mayor orden en el divisor $2 t$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$

Paso 2.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			+	$t$	+	$\frac{3}{2}$

Paso 2.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $t + \frac{3}{2}$ .

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$\frac{3}{2}$

Paso 2.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$\frac{3}{2}$
					-	$\frac{3}{2}$

Paso 2.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$24 \int_{0}^{10} \frac{1}{2} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$24 (\int_{0}^{10} \frac{1}{2} d t + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$24 (\frac{1}{2} t]_{0}^{10} + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $t$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \int_{0}^{10} \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

Paso 7

Dado que $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{3}{2}$ fuera de la integral.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - (\frac{3}{2} \int_{0}^{10} \frac{1}{2 t + 3} d t))$

Paso 8

Sea $u = 2 t + 3$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Deja $u = 2 t + 3$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1

Diferencia $2 t + 3$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 3]$

Paso 8.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 t + 3$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$

Paso 8.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$

Paso 8.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [3]$

Paso 8.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [3]$

Paso 8.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3$ con respecto a $t$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 8.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 8.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = 2 t + 3$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 3$

Paso 8.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 3$

Paso 8.3.2

Suma $0$ y $3$ .

$u_{lower} = 3$

Paso 8.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = 2 t + 3$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 10 + 3$

Paso 8.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.1

Multiplica $2$ por $10$ .

$u_{upper} = 20 + 3$

Paso 8.5.2

Suma $20$ y $3$ .

$u_{upper} = 23$

Paso 8.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 23$

Paso 8.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Paso 9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Paso 9.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{2 u} d u)$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u))$

Paso 11

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2 \cdot 2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u)$

Paso 11.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{4} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u)$

Paso 12

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{4} \ln (| u |)]_{3}^{23})$

Paso 13

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Combina $\ln (| u |)]_{3}^{23}$ y $\frac{3}{4}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{\ln (| u |)]_{3}^{23} \cdot 3}{4})$

Paso 13.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\ln (| u |)]_{3}^{23}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3 (\ln (| u |)]_{3}^{23})}{4})$

Paso 14

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Evalúa $\frac{t}{2}$ en $10$ y en $0$ .

$24 ((\frac{10}{2}) - \frac{0}{2} - \frac{3 (\ln (| u |)]_{3}^{23})}{4})$

Paso 14.2

Evalúa $\ln (| u |)$ en $23$ y en $3$ .

$24 ((\frac{10}{2}) - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Paso 14.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.1

Cancela el factor común de $10$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.1.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Paso 14.3.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2 (1)} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Paso 14.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Paso 14.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$24 (\frac{5}{1} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Paso 14.3.1.2.4

Divide $5$ por $1$ .

$24 (5 - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Paso 14.3.2

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.2.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$24 (5 - \frac{2 (0)}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Paso 14.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$24 (5 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Paso 14.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$24 (5 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Paso 14.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$24 (5 - \frac{0}{1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Paso 14.3.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$24 (5 - 0 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Paso 14.3.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$24 (5 + 0 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Paso 14.3.4

Suma $5$ y $0$ .

$24 (5 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Paso 14.3.5

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$24 (5 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4})$

Paso 14.3.6

Combina $5$ y $\frac{4}{4}$ .

$24 (\frac{5 \cdot 4}{4} - \frac{3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4})$

Paso 14.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$24 \frac{5 \cdot 4 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$

Paso 14.3.8

Multiplica $5$ por $4$ .

$24 \frac{20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$

Paso 14.3.9

Combina $24$ y $\frac{20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$ .

$\frac{24 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))}{4}$

Paso 14.3.10

Cancela el factor común de $24$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.10.1

Factoriza $4$ de $24 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$ .

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4}$

Paso 14.3.10.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.10.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4 (1)}$

Paso 14.3.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4 \cdot 1}$

Paso 14.3.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))}{1}$

Paso 14.3.10.2.4

Divide $6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$ por $1$ .

$6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$

Paso 15

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 (20 - 3 \ln (\frac{| 23 |}{| 3 |}))$

Paso 16

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $23$ es $23$ .

$6 (20 - 3 \ln (\frac{23}{| 3 |}))$

Paso 16.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$6 (20 - 3 \ln (\frac{23}{3}))$

Paso 16.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 \cdot 20 + 6 (- 3 \ln (\frac{23}{3}))$

Paso 16.4

Multiplica $6$ por $20$ .

$120 + 6 (- 3 \ln (\frac{23}{3}))$

Paso 16.5

Multiplica $- 3$ por $6$ .

$120 - 18 \ln (\frac{23}{3})$

Paso 17

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$120 - 18 \ln (\frac{23}{3})$

Forma decimal:

$83.33612530 \dots$

Paso 18