Cálculo Ejemplos

$y = - \frac{y}{x}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- \frac{y}{x})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{y}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = y$ y $g (x) = x$ .

$- \frac{x \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \frac{x y' - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{x y' - y \cdot 1}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y}{x} \cdot 0$

Paso 3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.7.1

Multiplica $\frac{y}{x}$ por $0$ .

$- \frac{x y' - y}{x^{2}} + 0$

Paso 3.7.2

Suma $- \frac{x y' - y}{x^{2}}$ y $0$ .

$- \frac{x y' - y}{x^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{x y' - y}{x^{2}}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados por $x^{2}$ .

$y' x^{2} = - \frac{x y' - y}{x^{2}} x^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $- \frac{x y' - y}{x^{2}} x^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x y' - y}{x^{2}}$ al numerador.

$y' x^{2} = \frac{- (x y' - y)}{x^{2}} x^{2}$

Paso 5.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$y' x^{2} = \frac{- (x y' - y)}{x^{2}} x^{2}$

Paso 5.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$y' x^{2} = - (x y' - y)$

Paso 5.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y' x^{2} = - (x y') - - y$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- - y$ .

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Paso 5.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y' x^{2} = - x y' + 1 y$

Paso 5.2.1.3.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y' x^{2} = - x y' + y$

Paso 5.2.1.4

Mueve $x$ .

$y' x^{2} = - 1 y' x + y$

Paso 5.3

Resuelve $y'$

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Paso 5.3.1

Reescribe $- 1 y'$ como $- y'$ .

$y' x^{2} = - y' x + y$

Paso 5.3.2

Suma $y' x$ a ambos lados de la ecuación.

$y' x^{2} + y' x = y$

Paso 5.3.3

Factoriza $y' x$ de $y' x^{2} + y' x$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $y' x$ de $y' x^{2}$ .

$y' x \cdot x + y' x = y$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $y' x$ de $y' x$ .

$y' x \cdot x + y' x \cdot 1 = y$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $y' x$ de $y' x \cdot x + y' x \cdot 1$ .

$y' x (x + 1) = y$

Paso 5.3.4

Divide cada término en $y' x (x + 1) = y$ por $x (x + 1)$ y simplifica.

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Paso 5.3.4.1

Divide cada término en $y' x (x + 1) = y$ por $x (x + 1)$ .

$\frac{y' x (x + 1)}{x (x + 1)} = \frac{y}{x (x + 1)}$

Paso 5.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.4.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' x (x + 1)}{x (x + 1)} = \frac{y}{x (x + 1)}$

Paso 5.3.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{y}{x (x + 1)}$

Paso 5.3.4.2.2

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 5.3.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{y}{x (x + 1)}$

Paso 5.3.4.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y}{x (x + 1)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x (x + 1)}$