Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} 6 \sqrt[6]{x} d x$

Paso 1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int_{0}^{1} \sqrt[6]{x} d x$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[6]{x}$ como $x^{\frac{1}{6}}$ .

$6 \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{6}} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{6}}$ con respecto a $x$ es $\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}$ .

$6 (\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}]_{0}^{1})$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Combina $\frac{6}{7}$ y $x^{\frac{7}{6}}$ .

$6 (\frac{6 x^{\frac{7}{6}}}{7}]_{0}^{1})$

Paso 4.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.2.1

Evalúa $\frac{6 x^{\frac{7}{6}}}{7}$ en $1$ y en $0$ .

$6 ((\frac{6 \cdot 1^{\frac{7}{6}}}{7}) - \frac{6 \cdot 0^{\frac{7}{6}}}{7})$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$6 (\frac{6 \cdot 1}{7} - \frac{6 \cdot 0^{\frac{7}{6}}}{7})$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$6 (\frac{6}{7} - \frac{6 \cdot 0^{\frac{7}{6}}}{7})$

Paso 4.2.2.3

Reescribe $0$ como $0^{6}$ .

$6 (\frac{6}{7} - \frac{6 \cdot {(0^{6})}^{\frac{7}{6}}}{7})$

Paso 4.2.2.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (\frac{6}{7} - \frac{6 \cdot 0^{6 (\frac{7}{6})}}{7})$

Paso 4.2.2.5

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 4.2.2.5.1

Cancela el factor común.

$6 (\frac{6}{7} - \frac{6 \cdot 0^{6 (\frac{7}{6})}}{7})$

Paso 4.2.2.5.2

Reescribe la expresión.

$6 (\frac{6}{7} - \frac{6 \cdot 0^{7}}{7})$

Paso 4.2.2.6

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$6 (\frac{6}{7} - \frac{6 \cdot 0}{7})$

Paso 4.2.2.7

Multiplica $6$ por $0$ .

$6 (\frac{6}{7} - \frac{0}{7})$

Paso 4.2.2.8

Cancela el factor común de $0$ y $7$ .

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Paso 4.2.2.8.1

Factoriza $7$ de $0$ .

$6 (\frac{6}{7} - \frac{7 (0)}{7})$

Paso 4.2.2.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.8.2.1

Factoriza $7$ de $7$ .

$6 (\frac{6}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1})$

Paso 4.2.2.8.2.2

Cancela el factor común.

$6 (\frac{6}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1})$

Paso 4.2.2.8.2.3

Reescribe la expresión.

$6 (\frac{6}{7} - \frac{0}{1})$

Paso 4.2.2.8.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$6 (\frac{6}{7} - 0)$

Paso 4.2.2.9

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$6 (\frac{6}{7} + 0)$

Paso 4.2.2.10

Suma $\frac{6}{7}$ y $0$ .

$6 (\frac{6}{7})$

Paso 4.2.2.11

Combina $6$ y $\frac{6}{7}$ .

$\frac{6 \cdot 6}{7}$

Paso 4.2.2.12

Multiplica $6$ por $6$ .

$\frac{36}{7}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{36}{7}$

Forma decimal:

$5.\overline{142857}$

Forma de número mixto:

$5 \frac{1}{7}$

Paso 6