Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{π} 2 \sin (x) + \sin (2 x) d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

Paso 3

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

Paso 4

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 4.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Paso 4.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Paso 4.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{2 π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 5

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{2 π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \sin (u) d u$

Paso 7

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{2 π}$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $- \cos (x)$ en $π$ y en $0$ .

$2 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{2 π}$

Paso 8.2

Evalúa $- \cos (u)$ en $2 π$ y en $0$ .

$2 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((- \cos (2 π)) + \cos (0))$

Paso 8.3

Elimina los paréntesis.

$2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + \cos (0))$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + \cos (0))$

Paso 9.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$2 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Paso 10.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Paso 10.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 (- - 1 + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Paso 10.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 (1 + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Paso 10.5

Suma $1$ y $1$ .

$2 \cdot 2 + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Paso 10.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Paso 10.7

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$4 + \frac{1}{2} (- \cos (0) + 1)$

Paso 10.8

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$4 + \frac{1}{2} (- 1 \cdot 1 + 1)$

Paso 10.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$4 + \frac{1}{2} (- 1 + 1)$

Paso 10.10

Suma $- 1$ y $1$ .

$4 + \frac{1}{2} \cdot 0$

Paso 10.11

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$4 + 0$

Paso 10.12

Suma $4$ y $0$ .

$4$