Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{π} \tan^{2} (\frac{x}{3}) d x$

Paso 1

Sea $u = \frac{x}{3}$ . Entonces $d u = \frac{1}{3} d x$ , de modo que $3 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \frac{x}{3}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 1.1.2

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{0}{3}$

Paso 1.3

Divide $0$ por $3$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Paso 1.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Paso 1.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

Paso 2.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) \cdot 3 d u$

Paso 2.3

Mueve $3$ a la izquierda de $\tan^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 3 \tan^{2} (u) d u$

Paso 3

Dado que $3$ es constante con respecto a $u$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) d u$

Paso 4

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (u)$ como $- 1 + \sec^{2} (u)$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 + \sec^{2} (u) d u$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$3 (\int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 d u + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) d u)$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$3 (- u]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) d u)$

Paso 7

Como la derivada de $\tan (u)$ es $\sec^{2} (u)$ , la integral de $\sec^{2} (u)$ es $\tan (u)$ .

$3 (- u]_{0}^{\frac{π}{3}} + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Paso 8

Combina $- u]_{0}^{\frac{π}{3}}$ y $\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}}$ .

$3 (- u + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $- u + \tan (u)$ en $\frac{π}{3}$ y en $0$ .

$3 ((- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (- 0 + \tan (0)))$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (0 + \tan (0)))$

Paso 9.2.2

Suma $0$ y $\tan (0)$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{3})$ es $\sqrt{3}$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - \tan (0))$

Paso 10.2

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - 0)$

Paso 10.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} + 0)$

Paso 10.4

Suma $- \frac{π}{3} + \sqrt{3}$ y $0$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3})$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (- \frac{π}{3}) + 3 \sqrt{3}$

Paso 11.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{3}$ al numerador.

$3 \frac{- π}{3} + 3 \sqrt{3}$

Paso 11.2.2

Cancela el factor común.

$3 \frac{- π}{3} + 3 \sqrt{3}$

Paso 11.2.3

Reescribe la expresión.

$- π + 3 \sqrt{3}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- π + 3 \sqrt{3}$

Forma decimal:

$2.05455976 \dots$