Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{8} x e^{- \frac{x}{c}} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- \frac{x}{c}}$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - \int_{0}^{8} - c e^{- \frac{x}{c}} d x$

Paso 2

Dado que $- c$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- c$ fuera de la integral.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (- c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + 1 (c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x)$

Paso 3.2

Multiplica $c$ por $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x$

Paso 4

Sea $u = - \frac{x}{c}$ . Entonces $d u = - \frac{1}{c} d x$ , de modo que $- c d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = - \frac{x}{c}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $- \frac{x}{c}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{c}]$

Paso 4.1.2

Como $- \frac{1}{c}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x}{c}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{c} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{c} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{c} \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{c}$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - \frac{x}{c}$ .

$u_{lower} = - \frac{0}{c}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Divide $0$ por $c$ .

$u_{lower} = - 0$

Paso 4.3.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - \frac{x}{c}$ .

$u_{upper} = - \frac{8}{c}$

Paso 4.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \frac{8}{c}$

Paso 4.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{c}} d u$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{c}} d u$

Paso 5.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{c}$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} (1 c) d u$

Paso 5.3

Multiplica $c$ por $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} c d u$

Paso 6

Dado que $- c$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- c$ fuera de la integral.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c (- c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Eleva $c$ a la potencia de $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (c^{1} c) \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

Paso 7.2

Eleva $c$ a la potencia de $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (c^{1} c^{1}) \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

Paso 7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{1 + 1} \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

Paso 7.4

Suma $1$ y $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{2} \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

Paso 8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{2} e^{u}]_{0}^{- \frac{8}{c}}$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $x (- c e^{- \frac{x}{c}})$ en $8$ y en $0$ .

$(8 (- c e^{- \frac{8}{c}})) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} e^{u}]_{0}^{- \frac{8}{c}}$

Paso 9.2

Evalúa $e^{u}$ en $- \frac{8}{c}$ y en $0$ .

$(8 (- c e^{- \frac{8}{c}})) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$- 8 (c e^{- \frac{8}{c}}) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Paso 9.3.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 (c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Paso 9.3.3

Multiplica $c$ por $0$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 e^{- \frac{0}{c}} - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Paso 9.3.4

Multiplica $0$ por $e^{- \frac{0}{c}}$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Paso 9.3.5

Suma $- 8 c e^{- \frac{8}{c}}$ y $0$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Paso 9.3.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} (e^{- \frac{8}{c}} - 1 \cdot 1)$

Paso 9.3.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} (e^{- \frac{8}{c}} - 1)$

Paso 10

Simplifica cada término.

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} \cdot - 1$

Paso 10.2

Multiplica $- c^{2} \cdot - 1$ .

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Paso 10.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} + 1 c^{2}$

Paso 10.2.2

Multiplica $c^{2}$ por $1$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} + c^{2}$

Paso 11