Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{π} (\sin^{6} (4 x)) \cos (4 x) d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = \sin (4 x)$ . Entonces $d u_{2} = 4 \cos (4 x) d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{2} = \cos (4 x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \sin (4 x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\sin (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x$ .

$\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (4 x) (4 \cdot 1)$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$\cos (4 x) \cdot 4$

Paso 1.1.3.3.2

Mueve $4$ a la izquierda de $\cos (4 x)$ .

$4 \cos (4 x)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = \sin (4 x)$ .

$u_{lower} = \sin (4 \cdot 0)$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Paso 1.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = \sin (4 x)$ .

$u_{upper} = \sin (4 π)$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$u_{upper} = \sin (0)$

Paso 1.5.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{0} {u_{2}}^{6} \frac{1}{4} d u_{2}$

Paso 2

Combina ${u_{2}}^{6}$ y $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{0} \frac{{u_{2}}^{6}}{4} d u_{2}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{0} {u_{2}}^{6} d u_{2}$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{6}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{7} {u_{2}}^{7}]_{0}^{0}$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ en $0$ y en $0$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{7} \cdot 0^{7}) - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{7} \cdot 0 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Paso 5.2.2

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Paso 5.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{7} \cdot 0)$

Paso 5.2.4

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0 (\frac{1}{7}))$

Paso 5.2.5

Multiplica $0$ por $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0)$

Paso 5.2.6

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0$

Paso 5.2.7

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $0$ .

$0$