Cálculo Ejemplos

$\int_{0.25}^{0.5} \frac{1}{\sqrt{25 - 16 x^{2}}} d x$

Paso 1

Escribe la expresión usando exponentes.

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Paso 1.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\int_{0.25}^{0.5} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - 16 x^{2}}} d x$

Paso 1.2

Reescribe $16 x^{2}$ como ${(4 x)}^{2}$ .

$\int_{0.25}^{0.5} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - {(4 x)}^{2}}} d x$

Paso 2

Sea $u = 4 x$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0.25$

Paso 2.3

Multiplica $4$ por $0.25$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 0.5$

Paso 2.5

Multiplica $4$ por $0.5$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}} d u$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}}$ con respecto a $u$ es $\arcsin (\frac{u}{5})$ .

$\frac{1}{4} \arcsin (\frac{u}{5})]_{1}^{2}$

Paso 5

Combina $\frac{1}{4}$ y $\arcsin (\frac{u}{5})]_{1}^{2}$ .

$\frac{\arcsin (\frac{u}{5})]_{1}^{2}}{4}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\arcsin (\frac{u}{5})$ en $2$ y en $1$ .

$\frac{(\arcsin (\frac{2}{5})) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $2$ y $5$ .

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Paso 6.2.1

Reescribe $2$ como $1 (2)$ .

$\frac{\arcsin (\frac{1 (2)}{5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Paso 6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1

Reescribe $5$ como $1 (5)$ .

$\frac{\arcsin (\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Paso 6.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\arcsin (\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Paso 6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\arcsin (\frac{2}{5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Evalúa $\arcsin (\frac{2}{5})$ .

$\frac{0.41151684 - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Paso 7.1.2

Evalúa $\arcsin (\frac{1}{5})$ .

$\frac{0.41151684 - 1 \cdot 0.20135792}{4}$

Paso 7.1.3

Multiplica $- 1$ por $0.20135792$ .

$\frac{0.41151684 - 0.20135792}{4}$

Paso 7.1.4

Resta $0.20135792$ de $0.41151684$ .

$\frac{0.21015892}{4}$

Paso 7.2

Divide $0.21015892$ por $4$ .

$0.05253973$

Paso 8