Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ , $[0, 4]$

Paso 1

Comprueba si $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ es continua.

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Paso 1.1

Para determinar si la función es continua en $[0, 4]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ .

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Paso 1.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + 1$

Paso 1.1.2

Establece el radicando en $\sqrt{x^{3}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{3} \geq 0$

Paso 1.1.3

Resuelve $x$

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Paso 1.1.3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica la ecuación.

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Paso 1.1.3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.3.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

Paso 1.1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.2.2.1

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 1.1.3.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 1.1.3.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x \geq 0$

Paso 1.1.4

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Paso 1.2

$f (x)$ es continua en $[0, 4]$ .

La función es continua.

Paso 2

Comprueba si $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ es diferenciable.

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Paso 2.1

Obtén la derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Paso 2.1.1.2.1

Como $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.1.2.6.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.1.2.7

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.1.2.8

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.1.2.9

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.1.2.10

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.1.2.11

Cancela el factor común.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.1.2.12

Divide $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.1.3.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 0$

Paso 2.1.1.3.2

Suma $x^{\frac{1}{2}}$ y $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.2

Obtén si la derivada es continua en $[0, 4]$ .

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Paso 2.2.1

Para determinar si la función es continua en $[0, 4]$ o no, obtén el dominio de $f' (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.2.1.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\sqrt{x^{1}}$

Paso 2.2.1.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\sqrt{x}$

Paso 2.2.1.2

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 2.2.1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Paso 2.2.2

$f' (x)$ es continua en $[0, 4]$ .

La función es continua.

Paso 2.3

La función es diferenciable en $[0, 4]$ porque la derivada es continua en $[0, 4]$ .

La función es diferenciable.

Paso 3

Para garantizar la longitud del arco, la función y su derivada deben ser ambas continuas en el intervalo cerrado $[0, 4]$ .

La función y su derivada son continuas en el intervalo cerrado $[0, 4]$ .

Paso 4

Obtén la derivada de $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ .

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Paso 4.2.1

Como $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.2.6.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.2.7

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.2.8

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.2.9

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.2.10

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.2.11

Cancela el factor común.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.2.12

Divide $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.3.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 0$

Paso 4.3.2

Suma $x^{\frac{1}{2}}$ y $0$ .

$x^{\frac{1}{2}}$

Paso 5

Para obtener la longitud del arco de una función, usa la fórmula $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

Paso 6

Evalúa la integral.

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Paso 6.1

Sea $u = 1 + x$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1.1

Deja $u = 1 + x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1.1

Diferencia $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 6.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 6.1.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 6.1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Paso 6.1.3

Suma $1$ y $0$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 6.1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 4$

Paso 6.1.5

Suma $1$ y $4$ .

$u_{upper} = 5$

Paso 6.1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Paso 6.1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{5} \sqrt{u} d u$

Paso 6.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 6.3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

Paso 6.4

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.4.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $5$ y en $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 6.4.2

Simplifica.

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Paso 6.4.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 6.4.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Paso 6.4.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Forma decimal:

$6.78689325 \dots$

Paso 8