Cálculo Ejemplos

$y = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ , $[- 1, 1]$

Paso 1

Escribe $y = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ como una función.

$f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$

Paso 2

Para obtener el valor promedio de una función, la función debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ . Para determinar si $f (x)$ es continua en $[- 1, 1]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} - 2 x$

Paso 2.2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

$f (x)$ es continua en $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 4

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 5

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x d x)$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 3 x^{\frac{2}{3}} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

Paso 7

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 \int_{- 1}^{1} x^{\frac{2}{3}} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

Paso 9

Combina $\frac{3}{5}$ y $x^{\frac{5}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

Paso 10

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) - 2 \int_{- 1}^{1} x d x)$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}))$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}))$

Paso 12.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 12.2.1

Evalúa $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ en $1$ y en $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5}) - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}))$

Paso 12.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $1$ y en $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Paso 12.2.3

Simplifica.

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Paso 12.2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 \cdot 1}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Paso 12.2.3.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Paso 12.2.3.3

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Paso 12.2.3.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Paso 12.2.3.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.2.3.5.1

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Paso 12.2.3.5.2

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{5}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Paso 12.2.3.6

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot - 1}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Paso 12.2.3.7

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{- 3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Paso 12.2.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} + \frac{3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Paso 12.2.3.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} + 1 (\frac{3}{5})) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Paso 12.2.3.10

Multiplica $\frac{3}{5}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} + \frac{3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Paso 12.2.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 + 3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Paso 12.2.3.12

Suma $3$ y $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{6}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Paso 12.2.3.13

Combina $3$ y $\frac{6}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3 \cdot 6}{5} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Paso 12.2.3.14

Multiplica $3$ por $6$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Paso 12.2.3.15

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Paso 12.2.3.16

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}))$

Paso 12.2.3.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{1 - 1}{2})$

Paso 12.2.3.18

Resta $1$ de $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{0}{2}))$

Paso 12.2.3.19

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 12.2.3.19.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{2 (0)}{2})$

Paso 12.2.3.19.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.3.19.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 12.2.3.19.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 12.2.3.19.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{0}{1}))$

Paso 12.2.3.19.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \cdot 0)$

Paso 12.2.3.20

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} + 0)$

Paso 12.2.3.21

Suma $\frac{18}{5}$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5})$

Paso 13

Suma $1$ y $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{18}{5}$

Paso 14

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (9)}{5}$

Paso 14.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 9}{5}$

Paso 14.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{9}{5}$

Paso 15