Cálculo Ejemplos

$y = 4 x - 2$ , $(1, 3)$

Paso 1

Escribe $y = 4 x - 2$ como una función.

$f (x) = 4 x - 2$

Paso 2

Obtén la derivada de $f (x) = 4 x - 2$ .

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 + 0$

Paso 2.1.3.2

Suma $4$ y $0$ .

$f' (x) = 4$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4$ .

$4$

Paso 3

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

$f' (x)$ es continua en $[1, 3]$ .

$f' (x)$ es continua

Paso 5

El valor promedio de una función $f'$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 6

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\int_{1}^{3} 4 d x)$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 x]_{1}^{3})$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $4 x$ en $3$ y en $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} ((4 \cdot 3) - 4 \cdot 1)$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (12 - 4 \cdot 1)$

Paso 8.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (12 - 4)$

Paso 8.2.3

Resta $4$ de $12$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (8)$

Paso 9

Resta $1$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 8$

Paso 10

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (4))$

Paso 10.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4)$

Paso 10.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = 4$

Paso 11