Cálculo Ejemplos

$y = 100 - x^{2}$ , $[- 10, 10]$

Paso 1

Escribe $y = 100 - x^{2}$ como una función.

$f (x) = 100 - x^{2}$

Paso 2

Obtén la derivada de $f (x) = 100 - x^{2}$ .

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $100 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.1.1.2

Como $100$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $100$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Paso 2.1.3

Resta $2 x$ de $0$ .

$f' (x) = - 2 x$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 x$ .

$- 2 x$

Paso 3

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

$f' (x)$ es continua en $[- 10, 10]$ .

$f' (x)$ es continua

Paso 5

El valor promedio de una función $f'$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 6

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (\int_{- 10}^{10} - 2 x d x)$

Paso 7

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 \int_{- 10}^{10} x d x)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 10}^{10}))$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 10}^{10}))$

Paso 9.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.2.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $10$ y en $- 10$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 ((\frac{10^{2}}{2}) - \frac{{(- 10)}^{2}}{2}))$

Paso 9.2.2

Simplifica.

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Paso 9.2.2.1

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (\frac{100}{2} - \frac{{(- 10)}^{2}}{2}))$

Paso 9.2.2.2

Cancela el factor común de $100$ y $2$ .

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Paso 9.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $100$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (\frac{2 \cdot 50}{2} - \frac{{(- 10)}^{2}}{2}))$

Paso 9.2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - \frac{{(- 10)}^{2}}{2}))$

Paso 9.2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 10)}^{2}}{2}))$

Paso 9.2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (\frac{50}{1} - \frac{{(- 10)}^{2}}{2}))$

Paso 9.2.2.2.2.4

Divide $50$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (50 - \frac{{(- 10)}^{2}}{2}))$

Paso 9.2.2.3

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (50 - \frac{100}{2}))$

Paso 9.2.2.4

Cancela el factor común de $100$ y $2$ .

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Paso 9.2.2.4.1

Factoriza $2$ de $100$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (50 - \frac{2 \cdot 50}{2}))$

Paso 9.2.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (50 - \frac{2 \cdot 50}{2 (1)}))$

Paso 9.2.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (50 - \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1}))$

Paso 9.2.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (50 - \frac{50}{1}))$

Paso 9.2.2.4.2.4

Divide $50$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (50 - 1 \cdot 50))$

Paso 9.2.2.5

Multiplica $- 1$ por $50$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (50 - 50))$

Paso 9.2.2.6

Resta $50$ de $50$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 \cdot 0)$

Paso 9.2.2.7

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (0)$

Paso 10

Suma $10$ y $10$ .

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot 0$

Paso 11

Multiplica $\frac{1}{20}$ por $0$ .

$A (x) = 0$

Paso 12