Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{2 x}$ , $(2, 8)$

Paso 1

Escribe $y = \sqrt{2 x}$ como una función.

$f (x) = \sqrt{2 x}$

Paso 2

Obtén la derivada de $f (x) = \sqrt{2 x}$ .

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.1.1.2

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.1.2

Como $2^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 2.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 2.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 2.1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 2.1.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.1.10

Combina $2^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.1.11

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.11.1

Mueve $2^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.11.2

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.12

Multiplica $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.12.1

Multiplica $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1.12.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.12.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.12.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.12.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.12.4

Resta $1$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3

Para obtener el valor promedio de una función, la función debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ . Para determinar si $f' (x)$ es continua en $[2, 8]$ o no, obtén el dominio de $f' (x) = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{1}{\sqrt{2^{1}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.1.2

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{1}{\sqrt{2^{1}} \sqrt{x^{1}}}$

Paso 3.1.3

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x^{1}}}$

Paso 3.1.4

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}}$

Paso 3.2

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 3.3

Establece el denominador en $\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{2} \sqrt{x} = 0$

Paso 3.4

Resuelve $x$

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Paso 3.4.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(\sqrt{2} \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Simplifica ${(\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}}$ .

${\sqrt{2}}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.4.2.2.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.4.2.2.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.4.2.2.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.4.2.2.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.2.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$2^{\frac{2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.4.2.2.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$2^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.4.2.2.1.2.5

Evalúa el exponente.

$2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.4.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 3.4.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 3.4.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$2 x^{1} = 0^{2}$

Paso 3.4.2.2.1.4

Simplifica.

$2 x = 0^{2}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$2 x = 0$

Paso 3.4.3

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.4.3.1

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 3.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 3.4.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Paso 3.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

Paso 3.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Paso 4

$f' (x)$ es continua en $[2, 8]$ .

$f' (x)$ es continua

Paso 5

El valor promedio de una función $f'$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 6

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\int_{2}^{8} \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Paso 8

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 8.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x)$

Paso 8.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 8.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x)$

Paso 8.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} x^{\frac{- 1}{2}} d x)$

Paso 8.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} x^{- \frac{1}{2}} d x)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}]_{2}^{8})$

Paso 10

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.1

Evalúa $2 x^{\frac{1}{2}}$ en $8$ y en $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.2

Multiplica los exponentes en ${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 10.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 2^{3 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.2.2

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{1 + \frac{3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{2 + 3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.6

Suma $2$ y $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.7

Factoriza el negativo.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}})))$

Paso 10.2.8

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}})))$

Paso 10.2.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{1 + \frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.10

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{\frac{2 + 1}{2}}))$

Paso 10.2.12

Suma $2$ y $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{\frac{3}{2}}))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot 2^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

Paso 11.2

Cancela el factor común de $2^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 11.2.1

Factoriza $2^{\frac{1}{2}}$ de $2^{\frac{5}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{4}{2}}) + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

Paso 11.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{4}{2}}) + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

Paso 11.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

Paso 11.3

Cancela el factor común de $2^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 11.3.1

Factoriza $2^{\frac{1}{2}}$ de $- 2^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} (- 2^{\frac{2}{2}})))$

Paso 11.3.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} (- 2^{\frac{2}{2}})))$

Paso 11.3.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} - 2^{\frac{2}{2}})$

Paso 11.4

Simplifica cada término.

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Paso 11.4.1

Divide $4$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{2} - 2^{\frac{2}{2}})$

Paso 11.4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 2^{\frac{2}{2}})$

Paso 11.4.3

Divide $2$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 2)$

Paso 11.4.4

Evalúa el exponente.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 1 \cdot 2)$

Paso 11.4.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 2)$

Paso 11.5

Resta $2$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2)$

Paso 12

Resta $2$ de $8$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 2$

Paso 13

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot 2$

Paso 13.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot 2$

Paso 13.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{3}$

Paso 14