Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x}{3} + 3 x$ , $- 1 < x < - 0$

Paso 1

Obtén la derivada de $f (x) = \frac{2 x}{3} + 3 x$ .

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{2 x}{3} + 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2}{3} + 3 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{2}{3} + 3$

Paso 1.1.4

Combina los términos.

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Paso 1.1.4.1

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 1.1.4.2

Combina $3$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Paso 1.1.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 + 3 \cdot 3}{3}$

Paso 1.1.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.4.4.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{2 + 9}{3}$

Paso 1.1.4.4.2

Suma $2$ y $9$ .

$f' (x) = \frac{11}{3}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{11}{3}$ .

$\frac{11}{3}$

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

$f' (x)$ es continua en $[- 1, 0]$ .

$f' (x)$ es continua

Paso 4

El valor promedio de una función $f'$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 5

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (\int_{- 1}^{0} \frac{11}{3} d x)$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (\frac{11}{3} x]_{- 1}^{0})$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\frac{11}{3} x$ en $0$ y en $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} ((\frac{11}{3} \cdot 0) - \frac{11}{3} \cdot - 1)$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Multiplica $\frac{11}{3}$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (0 - \frac{11}{3} \cdot - 1)$

Paso 7.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (0 + 1 (\frac{11}{3}))$

Paso 7.2.3

Multiplica $\frac{11}{3}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (0 + \frac{11}{3})$

Paso 7.2.4

Suma $0$ y $\frac{11}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (\frac{11}{3})$

Paso 8

Suma $0$ y $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{11}{3}$

Paso 9

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 9.1

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{11}{3}$

Paso 9.2

Reescribe la expresión.

$A (x) = 1 \cdot \frac{11}{3}$

Paso 10

Multiplica $\frac{11}{3}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{11}{3}$

Paso 11