Cálculo Ejemplos

$y = \frac{3}{x - 2}$ , $[4, 7]$

Paso 1

Escribe $y = \frac{3}{x - 2}$ como una función.

$f (x) = \frac{3}{x - 2}$

Paso 2

Para obtener el valor promedio de una función, la función debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ . Para determinar si $f (x)$ es continua en $[4, 7]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = \frac{3}{x - 2}$ .

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Paso 2.1

Establece el denominador en $\frac{3}{x - 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 2 = 0$

Paso 2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 2}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 2}$

Paso 3

$f (x)$ es continua en $[4, 7]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 4

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 5

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (\int_{4}^{7} \frac{3}{x - 2} d x)$

Paso 6

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{4}^{7} \frac{1}{x - 2} d x)$

Paso 7

Sea $u = x - 2$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1

Deja $u = x - 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 7.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 7.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 7.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 4 - 2$

Paso 7.3

Resta $2$ de $4$ .

$u_{lower} = 2$

Paso 7.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 7 - 2$

Paso 7.5

Resta $2$ de $7$ .

$u_{upper} = 5$

Paso 7.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 5$

Paso 7.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{2}^{5} \frac{1}{u} d u)$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 (\ln (| u |)]_{2}^{5}))$

Paso 9

Evalúa $\ln (| u |)$ en $5$ y en $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 (\ln (| 5 |) - \ln (| 2 |)))$

Paso 10

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{| 5 |}{| 2 |}))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $5$ es $5$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{5}{| 2 |}))$

Paso 11.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{5}{2}))$

Paso 12

Resta $4$ de $7$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{5}{2}))$

Paso 13

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.1

Factoriza $3$ de $3 \ln (\frac{5}{2})$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (\ln (\frac{5}{2})))$

Paso 13.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{5}{2}))$

Paso 13.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \ln (\frac{5}{2})$

Paso 14