Cálculo Ejemplos

$y = x^{2}$ , $(2, 5)$

Paso 1

Escribe $y = x^{2}$ como una función.

$f (x) = x^{2}$

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

$f (x)$ es continua en $[2, 5]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 4

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 5

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{2} d x)$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5})$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3}$ en $5$ y en $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Paso 7.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Paso 7.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8)$

Paso 7.2.4

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - 8 (\frac{1}{3}))$

Paso 7.2.5

Combina $- 8$ y $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} + \frac{- 8}{3})$

Paso 7.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{8}{3})$

Paso 7.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125 - 8}{3})$

Paso 7.2.8

Resta $8$ de $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{117}{3})$

Paso 7.2.9

Cancela el factor común de $117$ y $3$ .

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Paso 7.2.9.1

Factoriza $3$ de $117$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3})$

Paso 7.2.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.9.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3 (1)})$

Paso 7.2.9.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3 \cdot 1})$

Paso 7.2.9.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{39}{1})$

Paso 7.2.9.2.4

Divide $39$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39)$

Paso 8

Resta $2$ de $5$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 39$

Paso 9

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.1

Factoriza $3$ de $39$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (13))$

Paso 9.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 13)$

Paso 9.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = 13$

Paso 10