Cálculo Ejemplos

$y = \frac{3}{x - 2}$ , $[4, 7]$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1.1.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{x - 2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$

Paso 1.1.1.2

Reescribe $\frac{1}{x - 2}$ como ${(x - 2)}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{- 1}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x - 2$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 2$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 2$ .

$3 (- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 ({(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Paso 1.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 1.1.3.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (1 + 0)$

Paso 1.1.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} \cdot 1$

Paso 1.1.3.5.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2}$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.4.2.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2

Obtén si la derivada es continua en $[4, 7]$ .

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Paso 2.1

Para determinar si la función es continua en $[4, 7]$ o no, obtén el dominio de $f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ .

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Paso 2.1.1

Establece el denominador en $\frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 2.1.2

Resuelve $x$

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Paso 2.1.2.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.1.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 2}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 2}$

Paso 2.2

$f' (x)$ es continua en $[4, 7]$ .

La función es continua.

Paso 3

La función es diferenciable en $[4, 7]$ porque la derivada es continua en $[4, 7]$ .

La función es diferenciable.

Paso 4