Cálculo Ejemplos

y = \frac{3}{x - 2}

$y = \frac{3}{x - 2}$ ,

[4, 7]

$[4, 7]$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1.1.1

Como

3

$3$ es constante con respecto a

x

$x$ , la derivada de

\frac{3}{x - 2}

$\frac{3}{x - 2}$ con respecto a

x

$x$ es

3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$ .

3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$

Paso 1.1.1.2

Reescribe

\frac{1}{x - 2}

$\frac{1}{x - 2}$ como

{(x - 2)}^{- 1}

${(x - 2)}^{- 1}$ .

3 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{- 1}]

$3 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{- 1}]$

3 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{- 1}]

$3 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{- 1}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ donde

f (x) = x^{- 1}

$f (x) = x^{- 1}$ y

g (x) = x - 2

$g (x) = x - 2$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece

u

$u$ como

x - 2

$x - 2$ .

3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 2])

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d u} [u^{n}]

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es

n u^{n - 1}

$n u^{n - 1}$ donde

n = - 1

$n = - 1$ .

3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de

u

$u$ con

x - 2

$x - 2$ .

3 (- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])

$3 (- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

3 (- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])

$3 (- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

3

$3$ .

- 3 ({(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])

$- 3 ({(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Paso 1.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de

x - 2

$x - 2$ con respecto a

x

$x$ es

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

- 3 {(x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 1

$n = 1$ .

- 3 {(x - 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 1.1.3.4

Como

- 2

$- 2$ es constante con respecto a

x

$x$ , la derivada de

- 2

$- 2$ con respecto a

x

$x$ es

0

$0$ .

- 3 {(x - 2)}^{- 2} (1 + 0)

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (1 + 0)$

Paso 1.1.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.5.1

Suma

1

$1$ y

0

$0$ .

- 3 {(x - 2)}^{- 2} \cdot 1

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} \cdot 1$

Paso 1.1.3.5.2

Multiplica

- 3

$- 3$ por

1

$1$ .

- 3 {(x - 2)}^{- 2}

$- 3 {(x - 2)}^{- 2}$

- 3 {(x - 2)}^{- 2}

$- 3 {(x - 2)}^{- 2}$

- 3 {(x - 2)}^{- 2}

$- 3 {(x - 2)}^{- 2}$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.4.2.1

Combina

- 3

$- 3$ y

\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ .

\frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de

f (x)

$f (x)$ con respecto a

x

$x$ es

- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ .

- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2

Obtén si la derivada es continua en

[4, 7]

$[4, 7]$ .

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Paso 2.1

Para determinar si la función es continua en

[4, 7]

$[4, 7]$ o no, obtén el dominio de

f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ .

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Paso 2.1.1

Establece el denominador en

\frac{3}{{(x - 2)}^{2}}

$\frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ igual que

0

$0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

{(x - 2)}^{2} = 0

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 2.1.2

Resuelve

x

$x$

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Paso 2.1.2.1

Establece

x - 2

$x - 2$ igual a

0

$0$ .

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

Paso 2.1.2.2

Suma

2

$2$ a ambos lados de la ecuación.

x = 2

$x = 2$

x = 2

$x = 2$

Paso 2.1.3

El dominio son todos los valores de

x

$x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

(- \infty, 2) \cup (2, \infty)

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

{x | x \neq 2}

${x | x \neq 2}$

Notación de intervalo:

(- \infty, 2) \cup (2, \infty)

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

{x | x \neq 2}

${x | x \neq 2}$

Paso 2.2

f' (x)

$f' (x)$ es continua en

[4, 7]

$[4, 7]$ .

La función es continua.

Paso 3

La función es diferenciable en

[4, 7]

$[4, 7]$ porque la derivada es continua en

[4, 7]

$[4, 7]$ .

La función es diferenciable.

Paso 4