Cálculo Ejemplos

$\frac{\sinh (x)}{e^{x}}$

Paso 1

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$

Paso 2.1.2

La respuesta final es $\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$ .

$\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$

$f (x) = \frac{\sinh (x)}{e^{x}}$

$f (x + h) = \frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$

$f (x) = \frac{\sinh (x)}{e^{x}}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}})}{h}$

Paso 4

Combina los términos.

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Paso 4.1

Para escribir $\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e^{x}}{e^{x}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}} \cdot \frac{e^{x}}{e^{x}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}})}{h}$

Paso 4.2

Para escribir $- (\frac{\sinh (x)}{e^{x}})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}} \cdot \frac{e^{x}}{e^{x}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}}) \cdot \frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}}{h}$

Paso 4.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $e^{x + h} e^{x}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.3.1

Multiplica $\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$ por $\frac{e^{x}}{e^{x}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{x + h} e^{x}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}}) \cdot \frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}}{h}$

Paso 4.3.2

Multiplica $e^{x + h}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{x + h + x}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}}) \cdot \frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}}{h}$

Paso 4.3.2.2

Suma $x$ y $x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{h + 2 x}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}}) \cdot \frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}}{h}$

Paso 4.3.3

Multiplica $\frac{\sinh (x)}{e^{x}}$ por $\frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{h + 2 x}} - \frac{\sinh (x) e^{h + x}}{e^{x} e^{h + x}}}{h}$

Paso 4.3.4

Multiplica $e^{x}$ por $e^{h + x}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.4.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{h + 2 x}} - \frac{\sinh (x) e^{h + x}}{e^{x + h + x}}}{h}$

Paso 4.3.4.2

Suma $x$ y $x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{h + 2 x}} - \frac{\sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x}}}{h}$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x}}}{h}$

Paso 5

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x}} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x}}$ por $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x} h}$

Paso 6

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 6.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 6.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} \sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Paso 6.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 6.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \sinh (x + h) e^{x} - lim_{h \to 0} \sinh (x) e^{h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Paso 6.1.2.2

Mueve el término $e^{x}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \sinh (x + h) - lim_{h \to 0} \sinh (x) e^{h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Paso 6.1.2.3

Mueve el término $\sinh (x)$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \sinh (x + h) - \sinh (x) lim_{h \to 0} e^{h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Paso 6.1.2.4

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \sinh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Paso 6.1.2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \sinh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Paso 6.1.2.6

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \sinh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Paso 6.1.2.7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $h$ .

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Paso 6.1.2.7.1

Evalúa el límite de $\sinh (x + h)$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{e^{x} \sinh (x + 0) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Paso 6.1.2.7.2

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{e^{x} \sinh (x) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Paso 6.1.2.7.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{e^{x} \sinh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Paso 6.1.2.8

Combina los términos opuestos en $e^{x} \sinh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}$ .

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Paso 6.1.2.8.1

Suma $0$ y $x$ .

$\frac{e^{x} \sinh (x) - \sinh (x) e^{x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Paso 6.1.2.8.2

Reordena los factores en los términos $e^{x} \sinh (x)$ y $- \sinh (x) e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \sinh (x) - e^{x} \sinh (x)}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Paso 6.1.2.8.3

Resta $e^{x} \sinh (x)$ de $e^{x} \sinh (x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Paso 6.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 6.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Paso 6.1.3.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{0}{e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Paso 6.1.3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{e^{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 x} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Paso 6.1.3.4

Evalúa el límite de $2 x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Paso 6.1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $h$ .

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Paso 6.1.3.5.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{0}{e^{0 + 2 x} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Paso 6.1.3.5.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{0}{e^{0 + 2 x} \cdot 0}$

Paso 6.1.3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1.3.6.1

Suma $0$ y $2 x$ .

$\frac{0}{e^{2 x} \cdot 0}$

Paso 6.1.3.6.2

Multiplica $e^{2 x}$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 6.1.3.6.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 6.1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 6.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 6.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x} h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Paso 6.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 6.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Paso 6.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [\sinh (x + h) e^{x}] + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sinh (x + h) e^{x}] + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Paso 6.3.3

Evalúa $\frac{d}{d h} [\sinh (x + h) e^{x}]$ .

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Paso 6.3.3.1

Como $e^{x}$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $\sinh (x + h) e^{x}$ con respecto a $h$ es $e^{x} \frac{d}{d h} [\sinh (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \frac{d}{d h} [\sinh (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Paso 6.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ es $f' (g (h)) g' (h)$ donde $f (h) = \sinh (h)$ y $g (h) = x + h$ .

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Paso 6.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\frac{d}{d u_{1}} [\sinh (u_{1})] \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Paso 6.3.3.2.2

La derivada de $\sinh (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cosh (u_{1})$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (u_{1}) \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Paso 6.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (x + h) \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Paso 6.3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + h$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Paso 6.3.3.4

Como $x$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $x$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Paso 6.3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (x + h) (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Paso 6.3.3.6

Suma $0$ y $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (x + h) \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Paso 6.3.3.7

Multiplica $\cosh (x + h)$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Paso 6.3.4

Evalúa $\frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]$ .

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Paso 6.3.4.1

Como $- \sinh (x)$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- \sinh (x) e^{h + x}$ con respecto a $h$ es $- \sinh (x) \frac{d}{d h} [e^{h + x}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) \frac{d}{d h} [e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Paso 6.3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ es $f' (g (h)) g' (h)$ donde $f (h) = e^{h}$ y $g (h) = h + x$ .

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Paso 6.3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $h + x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d h} [h + x])}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Paso 6.3.4.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d h} [h + x])}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Paso 6.3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $h + x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{h + x} \frac{d}{d h} [h + x])}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Paso 6.3.4.3

Según la regla de la suma, la derivada de $h + x$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [x]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{h + x} (\frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [x]))}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Paso 6.3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{h + x} (1 + \frac{d}{d h} [x]))}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Paso 6.3.4.5

Como $x$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $x$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{h + x} (1 + 0))}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Paso 6.3.4.6

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{h + x} \cdot 1)}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Paso 6.3.4.7

Multiplica $e^{h + x}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{h + x}}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Paso 6.3.5

Reordena los términos.

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Paso 6.3.6

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ es $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ donde $f (h) = e^{h + 2 x}$ y $g (h) = h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [e^{h + 2 x}]}$

Paso 6.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [e^{h + 2 x}]}$

Paso 6.3.8

Multiplica $e^{h + 2 x}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h \frac{d}{d h} [e^{h + 2 x}]}$

Paso 6.3.9

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ es $f' (g (h)) g' (h)$ donde $f (h) = e^{h}$ y $g (h) = h + 2 x$ .

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Paso 6.3.9.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $h + 2 x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d h} [h + 2 x])}$

Paso 6.3.9.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{u} \frac{d}{d h} [h + 2 x])}$

Paso 6.3.9.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $h + 2 x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{h + 2 x} \frac{d}{d h} [h + 2 x])}$

Paso 6.3.10

Según la regla de la suma, la derivada de $h + 2 x$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [2 x]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{h + 2 x} (\frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [2 x]))}$

Paso 6.3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{h + 2 x} (1 + \frac{d}{d h} [2 x]))}$

Paso 6.3.12

Como $2 x$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{h + 2 x} (1 + 0))}$

Paso 6.3.13

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{h + 2 x} \cdot 1)}$

Paso 6.3.14

Multiplica $e^{h + 2 x}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h e^{h + 2 x}}$

Paso 6.3.15

Simplifica.

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Paso 6.3.15.1

Reordena los términos.

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} h + e^{h + 2 x}}$

Paso 6.3.15.2

Reordena los factores en $e^{h + 2 x} h + e^{h + 2 x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

Paso 7.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} e^{x} \cosh (x + h) - lim_{h \to 0} e^{h + x} \sinh (x)}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

Paso 7.3

Mueve el término $e^{x}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - lim_{h \to 0} e^{h + x} \sinh (x)}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

Paso 7.4

Mueve el término $\sinh (x)$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) lim_{h \to 0} e^{h + x}}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

Paso 7.5

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

Paso 7.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} x}}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

Paso 7.7

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

Paso 7.8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + lim_{h \to 0} e^{h + 2 x}}$

Paso 7.9

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} + lim_{h \to 0} e^{h + 2 x}}$

Paso 7.10

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + lim_{h \to 0} e^{h + 2 x}}$

Paso 7.11

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 x} + lim_{h \to 0} e^{h + 2 x}}$

Paso 7.12

Evalúa el límite de $2 x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + lim_{h \to 0} e^{h + 2 x}}$

Paso 7.13

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

Paso 7.14

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 x}}$

Paso 7.15

Evalúa el límite de $2 x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

Paso 8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $h$ .

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Paso 8.1

Evalúa el límite de $\cosh (x + h)$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{e^{x} \cosh (x + 0) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

Paso 8.2

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

Paso 8.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

Paso 8.4

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}}{0 \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

Paso 8.5

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

Paso 8.6

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{0 + 2 x}}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Suma $0$ y $x$ .

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{x}}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{0 + 2 x}}$

Paso 9.1.2

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{x}$ .

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Paso 9.1.2.1

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} \cosh (x)$ .

$\frac{e^{x} (\cosh (x)) - \sinh (x) e^{x}}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{0 + 2 x}}$

Paso 9.1.2.2

Factoriza $e^{x}$ de $- \sinh (x) e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (\cosh (x)) + e^{x} (- \sinh (x))}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{0 + 2 x}}$

Paso 9.1.2.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (\cosh (x)) + e^{x} (- \sinh (x))$ .

$\frac{e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{0 + 2 x}}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1

Suma $0$ y $2 x$ .

$\frac{e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{0 \cdot e^{2 x} + e^{0 + 2 x}}$

Paso 9.2.2

Multiplica $0$ por $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{0 + e^{0 + 2 x}}$

Paso 9.2.3

Suma $0$ y $2 x$ .

$\frac{e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{0 + e^{2 x}}$

Paso 9.2.4

Suma $0$ y $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{e^{2 x}}$

Paso 9.3

Cancela el factor común de $e^{x}$ y $e^{2 x}$ .

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Paso 9.3.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x)))}{e^{2 x}}$

Paso 9.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Paso 9.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Paso 9.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{1}$

Paso 9.3.2.4

Divide $e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x))$ por $1$ .

$e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x))$

Paso 9.4

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{- x} \cosh (x) + e^{- x} (- \sinh (x))$

Paso 9.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- x} \cosh (x) - e^{- x} \sinh (x)$

Paso 10