Cálculo Ejemplos

$e^{- 5 x}$

Paso 1

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = e^{- 5 (x + h)}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = e^{- 5 x - 5 h}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $e^{- 5 x - 5 h}$ .

$e^{- 5 x - 5 h}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = e^{- 5 x - 5 h}$

$f (x) = e^{- 5 x}$

$f (x + h) = e^{- 5 x - 5 h}$

$f (x) = e^{- 5 x}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{e^{- 5 x - 5 h} - (e^{- 5 x})}{h}$

Paso 4

Multiplica $- 1$ por $e^{- 5 x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{e^{- 5 x - 5 h} - e^{- 5 x}}{h}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} e^{- 5 x - 5 h} - e^{- 5 x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 5.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 5.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} e^{- 5 x - 5 h} - lim_{h \to 0} e^{- 5 x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.1.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{lim_{h \to 0} - 5 x - 5 h} - lim_{h \to 0} e^{- 5 x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{e^{- lim_{h \to 0} 5 x - lim_{h \to 0} 5 h} - lim_{h \to 0} e^{- 5 x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.1.4

Evalúa el límite de $5 x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{e^{- 5 x - lim_{h \to 0} 5 h} - lim_{h \to 0} e^{- 5 x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.1.5

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{e^{- 5 x - 5 lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} e^{- 5 x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.1.6

Evalúa el límite de $e^{- 5 x}$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{e^{- 5 x - 5 lim_{h \to 0} h} - e^{- 5 x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{e^{- 5 x - 5 \cdot 0} - e^{- 5 x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.3.1.1

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$\frac{e^{- 5 x + 0} - e^{- 5 x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.3.1.2

Suma $- 5 x$ y $0$ .

$\frac{e^{- 5 x} - e^{- 5 x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.3.2

Resta $e^{- 5 x}$ de $e^{- 5 x}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 5.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 5.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{e^{- 5 x - 5 h} - e^{- 5 x}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{- 5 x - 5 h} - e^{- 5 x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{- 5 x - 5 h} - e^{- 5 x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{- 5 x - 5 h} - e^{- 5 x}$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [e^{- 5 x - 5 h}] + \frac{d}{d h} [- e^{- 5 x}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{- 5 x - 5 h}] + \frac{d}{d h} [- e^{- 5 x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3

Evalúa $\frac{d}{d h} [e^{- 5 x - 5 h}]$ .

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Paso 5.3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ es $f' (g (h)) g' (h)$ donde $f (h) = e^{h}$ y $g (h) = - 5 x - 5 h$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 5 x - 5 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d h} [- 5 x - 5 h] + \frac{d}{d h} [- e^{- 5 x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d h} [- 5 x - 5 h] + \frac{d}{d h} [- e^{- 5 x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 5 x - 5 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{- 5 x - 5 h} \frac{d}{d h} [- 5 x - 5 h] + \frac{d}{d h} [- e^{- 5 x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- 5 x - 5 h$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [- 5 x] + \frac{d}{d h} [- 5 h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{- 5 x - 5 h} (\frac{d}{d h} [- 5 x] + \frac{d}{d h} [- 5 h]) + \frac{d}{d h} [- e^{- 5 x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.3

Como $- 5 x$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{- 5 x - 5 h} (0 + \frac{d}{d h} [- 5 h]) + \frac{d}{d h} [- e^{- 5 x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.4

Como $- 5$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- 5 h$ con respecto a $h$ es $- 5 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{- 5 x - 5 h} (0 - 5 \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- e^{- 5 x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{- 5 x - 5 h} (0 - 5 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- e^{- 5 x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.6

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{- 5 x - 5 h} (0 - 5) + \frac{d}{d h} [- e^{- 5 x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.7

Resta $5$ de $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{- 5 x - 5 h} \cdot - 5 + \frac{d}{d h} [- e^{- 5 x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.8

Mueve $- 5$ a la izquierda de $e^{- 5 x - 5 h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 5 e^{- 5 x - 5 h} + \frac{d}{d h} [- e^{- 5 x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.4

Como $- e^{- 5 x}$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- e^{- 5 x}$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 5 e^{- 5 x - 5 h} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.5

Suma $- 5 e^{- 5 x - 5 h}$ y $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 5 e^{- 5 x - 5 h}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 5 e^{- 5 x - 5 h}}{1}$

Paso 5.4

Divide $- 5 e^{- 5 x - 5 h}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} - 5 e^{- 5 x - 5 h}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Mueve el término $- 5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- 5 lim_{h \to 0} e^{- 5 x - 5 h}$

Paso 6.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$- 5 e^{lim_{h \to 0} - 5 x - 5 h}$

Paso 6.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$- 5 e^{- lim_{h \to 0} 5 x - lim_{h \to 0} 5 h}$

Paso 6.4

Evalúa el límite de $5 x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- 5 e^{- 5 x - lim_{h \to 0} 5 h}$

Paso 6.5

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- 5 e^{- 5 x - 5 lim_{h \to 0} h}$

Paso 7

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$- 5 e^{- 5 x - 5 \cdot 0}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$- 5 e^{- 5 x + 0}$

Paso 8.2

Suma $- 5 x$ y $0$ .

$- 5 e^{- 5 x}$

Paso 9