Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x}{x + 3}$

Paso 1

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{(x + h) + 3}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$ .

$\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{2 x}{x + 3}$

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{2 x}{x + 3}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h + 3} - (\frac{2 x}{x + 3})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Para escribir $\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{2 x}{x + 3}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{2 x}{x + 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{2 x}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

Paso 4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + h + 3) (x + 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{2 x}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $\frac{2 x}{x + 3}$ por $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Reordena los factores de $(x + h + 3) (x + 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)} - \frac{2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3) - 2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\frac{2 (x + h) (x + 3) - 2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.5.1

Factoriza $2$ de $2 (x + h) (x + 3) - 2 x (x + h + 3)$ .

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Paso 4.1.5.1.1

Factoriza $2$ de $2 (x + h) (x + 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 ((x + h) (x + 3)) - 2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.1.2

Factoriza $2$ de $- 2 x (x + h + 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 ((x + h) (x + 3)) + 2 (- x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.1.3

Factoriza $2$ de $2 ((x + h) (x + 3)) + 2 (- x (x + h + 3))$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 ((x + h) (x + 3) - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.2

Expande $(x + h) (x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x (x + 3) + h (x + 3) - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 3 + h (x + 3) - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.5.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 \cdot x + h x + h \cdot 3 - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.3.3

Mueve $3$ a la izquierda de $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x \cdot x - x h - x \cdot 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.5

Simplifica.

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Paso 4.1.5.5.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.5.5.1.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - (x \cdot x) - x h - x \cdot 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.5.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x^{2} - x h - x \cdot 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.5.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x^{2} - x h - 3 x)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.6

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 x + h x + 3 h + 0 - x h - 3 x)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.7

Suma $3 x$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 x + h x + 3 h - x h - 3 x)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.8

Resta $3 x$ de $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (h x + 3 h - x h + 0)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.9

Suma $h x + 3 h - x h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (h x + 3 h - x h)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.10

Resta $x h$ de $h x$ .

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Paso 4.1.5.10.1

Reordena $h$ y $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 h + x h - x h)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.10.2

Resta $x h$ de $x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 h + 0)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.11

Suma $3 h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot (3 h)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.12

Multiplica $2$ por $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{6 h}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $h$ de $6 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot 6}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot 6}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6}{(x + 3) (x + h + 3)}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Mueve el término $\frac{6}{x + 3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{6}{x + 3} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 3}$

Paso 5.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 3}$

Paso 5.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 3}$

Paso 5.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3}$

Paso 5.5

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3}$

Paso 5.6

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 3}$

Paso 6

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + 0 + 3}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + 3}$

Paso 7.2

Multiplica $\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + 3}$ .

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Paso 7.2.1

Multiplica $\frac{6}{x + 3}$ por $\frac{1}{x + 3}$ .

$\frac{6}{(x + 3) (x + 3)}$

Paso 7.2.2

Eleva $x + 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6}{{(x + 3)}^{1} (x + 3)}$

Paso 7.2.3

Eleva $x + 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6}{{(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1}}$

Paso 7.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6}{{(x + 3)}^{1 + 1}}$

Paso 7.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{6}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 8