Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x}$

Paso 1

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

Paso 2.1.2

La respuesta final es $\frac{1}{x + h}$ .

$\frac{1}{x + h}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - (\frac{1}{x})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Para escribir $\frac{1}{x + h}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{1}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Paso 4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + h) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{1}{x + h}$ por $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Reordena los factores de $(x + h) x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.2

Resta $x$ de $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.3

Resta $h$ de $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{h}{x (x + h)}$ al numerador.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.2

Factoriza $h$ de $- h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.4

Reescribe la expresión.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x (x + h)}$

Paso 4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{x (x + h)}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{x (x + h)}$

Paso 5.2

Mueve el término $\frac{1}{x}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- \frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h}$

Paso 5.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h}$

Paso 5.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h}$

Paso 5.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.6

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}$

Paso 6

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x + 0}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Suma $x$ y $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 7.2

Multiplica $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Paso 7.2.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{x \cdot x}$

Paso 7.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{x^{1} x}$

Paso 7.2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{x^{1} x^{1}}$

Paso 7.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{x^{1 + 1}}$

Paso 7.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Paso 8