Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 4 x + \frac{32}{3}$

Paso 1

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot {(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Usa el teorema del binomio.

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Paso 2.1.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2} h) + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Paso 2.1.2.1.3

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1.3.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2} h) + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Paso 2.1.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.1.2.1.3.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} h$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (x^{2} h)) + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Paso 2.1.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (x^{2} h)) + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Paso 2.1.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Paso 2.1.2.1.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.1.2.1.3.3.1

Factoriza $3$ de $3 x h^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + \frac{1}{3} \cdot (3 (x h^{2})) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Paso 2.1.2.1.3.3.2

Cancela el factor común.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + \frac{1}{3} \cdot (3 (x h^{2})) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Paso 2.1.2.1.3.3.3

Reescribe la expresión.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Paso 2.1.2.1.3.4

Combina $\frac{1}{3}$ y $h^{3}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Paso 2.1.2.1.4

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - ((x + h) (x + h)) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Paso 2.1.2.1.5

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x (x + h) + h (x + h)) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Paso 2.1.2.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Paso 2.1.2.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Paso 2.1.2.1.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Paso 2.1.2.1.6.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Paso 2.1.2.1.6.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 2.1.2.1.6.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Paso 2.1.2.1.6.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Paso 2.1.2.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - (2 h x) - h^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Paso 2.1.2.1.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 (h x) - h^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Paso 2.1.2.1.9

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $\frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$ .

$\frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Reordena $x^{2}$ y $h$ .

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$

Paso 2.2.2

Reordena $x$ y $h^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$

Paso 2.2.3

Mueve $- 4 x$ .

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

Paso 2.2.4

Mueve $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} - 2 h x - h^{2} - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

Paso 2.2.5

Mueve $- 2 h x$ .

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

Paso 2.2.6

Mueve $\frac{x^{3}}{3}$ .

$h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

Paso 2.2.7

Mueve $h x^{2}$ .

$h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

Paso 2.2.8

Reordena $h^{2} x$ y $\frac{h^{3}}{3}$ .

$\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 4 x + \frac{32}{3}$

$f (x + h) = \frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 4 x + \frac{32}{3}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - (\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 4 x + \frac{32}{3})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - (- 4 x) - \frac{32}{3}}{h}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- - x^{2}$ .

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Paso 4.1.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - \frac{x^{3}}{3} + 1 x^{2} - (- 4 x) - \frac{32}{3}}{h}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - (- 4 x) - \frac{32}{3}}{h}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

Paso 4.1.3

Resta $\frac{x^{3}}{3}$ de $\frac{x^{3}}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} + 0 + x^{2} + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

Paso 4.1.4

Suma $\frac{h^{3}}{3}$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} + x^{2} + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

Paso 4.1.5

Suma $- x^{2}$ y $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} + 0 + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

Paso 4.1.6

Suma $\frac{h^{3}}{3}$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

Paso 4.1.7

Suma $- 4 x$ y $4 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + 0 + \frac{32}{3} - \frac{32}{3}}{h}$

Paso 4.1.8

Suma $\frac{h^{3}}{3}$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + \frac{32}{3} - \frac{32}{3}}{h}$

Paso 4.1.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + \frac{32 - 32}{3}}{h}$

Paso 4.1.10

Resta $32$ de $32$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + \frac{0}{3}}{h}$

Paso 4.1.11

Combina los términos opuestos en $\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + \frac{0}{3}$ .

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Paso 4.1.11.1

Divide $0$ por $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + 0}{h}$

Paso 4.1.11.2

Suma $\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Paso 4.1.12

Para escribir $h^{2} x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x \cdot \frac{3}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Paso 4.1.13

Combina $h^{2} x$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + \frac{h^{2} x \cdot 3}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Paso 4.1.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3} + h^{2} x \cdot 3}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Paso 4.1.15

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.15.1

Factoriza $h^{2}$ de $h^{3} + h^{2} x \cdot 3$ .

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Paso 4.1.15.1.1

Factoriza $h^{2}$ de $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} h + h^{2} x \cdot 3}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Paso 4.1.15.1.2

Factoriza $h^{2}$ de $h^{2} x \cdot 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} h + h^{2} (x \cdot 3)}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Paso 4.1.15.1.3

Factoriza $h^{2}$ de $h^{2} h + h^{2} (x \cdot 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + x \cdot 3)}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Paso 4.1.15.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + 3 x)}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Paso 4.1.16

Para escribir $h x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + 3 x)}{3} + h x^{2} \cdot \frac{3}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Paso 4.1.17

Combina $h x^{2}$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + 3 x)}{3} + \frac{h x^{2} \cdot 3}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Paso 4.1.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + 3 x) + h x^{2} \cdot 3}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Paso 4.1.19

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.19.1

Factoriza $h$ de $h^{2} (h + 3 x) + h x^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.1.19.1.1

Factoriza $h$ de $h^{2} (h + 3 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h (h + 3 x)) + h (x^{2}) \cdot 3}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Paso 4.1.19.1.2

Factoriza $h$ de $h x^{2} \cdot 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h (h + 3 x)) + h (x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Paso 4.1.19.1.3

Factoriza $h$ de $h (h (h + 3 x)) + h (x^{2} \cdot 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h (h + 3 x) + x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Paso 4.1.19.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h (h) + h (3 x) + x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Paso 4.1.19.3

Multiplica $h$ por $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + h (3 x) + x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Paso 4.1.19.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Paso 4.1.19.5

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Paso 4.1.20

Para escribir $- h^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{3} - h^{2} \cdot \frac{3}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

Paso 4.1.21

Combina $- h^{2}$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{3} + \frac{- h^{2} \cdot 3}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

Paso 4.1.22

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) - h^{2} \cdot 3}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

Paso 4.1.23

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.23.1

Factoriza $h$ de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) - h^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.1.23.1.1

Factoriza $h$ de $- h^{2} \cdot 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h \cdot 3)}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

Paso 4.1.23.1.2

Factoriza $h$ de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h \cdot 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h \cdot 3)}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

Paso 4.1.23.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h)}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

Paso 4.1.24

Para escribir $- 2 h x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h)}{3} - 2 h x \cdot \frac{3}{3} - 4 h}{h}$

Paso 4.1.25

Combina $- 2 h x$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h)}{3} + \frac{- 2 h x \cdot 3}{3} - 4 h}{h}$

Paso 4.1.26

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) - 2 h x \cdot 3}{3} - 4 h}{h}$

Paso 4.1.27

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.27.1

Factoriza $h$ de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) - 2 h x \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.27.1.1

Factoriza $h$ de $- 2 h x \cdot 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) + h (- 2 x \cdot 3)}{3} - 4 h}{h}$

Paso 4.1.27.1.2

Factoriza $h$ de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) + h (- 2 x \cdot 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 2 x \cdot 3)}{3} - 4 h}{h}$

Paso 4.1.27.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x)}{3} - 4 h}{h}$

Paso 4.1.28

Para escribir $- 4 h$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x)}{3} - 4 h \cdot \frac{3}{3}}{h}$

Paso 4.1.29

Combina $- 4 h$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x)}{3} + \frac{- 4 h \cdot 3}{3}}{h}$

Paso 4.1.30

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x) - 4 h \cdot 3}{3}}{h}$

Paso 4.1.31

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.31.1

Factoriza $h$ de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x) - 4 h \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.31.1.1

Factoriza $h$ de $- 4 h \cdot 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x) + h (- 4 \cdot 3)}{3}}{h}$

Paso 4.1.31.1.2

Factoriza $h$ de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x) + h (- 4 \cdot 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 4 \cdot 3)}{3}}{h}$

Paso 4.1.31.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12)}{3}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12)}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Combinar.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12) \cdot 1}{3 h}$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.4.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12) \cdot 1}{3 h}$

Paso 4.4.2

Reescribe la expresión.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12) \cdot 1}{3}$

Paso 4.5

Multiplica $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12}{3}$

Paso 5

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1}{3} lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} (lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 3 h x + lim_{h \to 0} 3 x^{2} - lim_{h \to 0} 3 h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

Paso 7

Mueve el exponente $2$ de $h^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 3 h x + lim_{h \to 0} 3 x^{2} - lim_{h \to 0} 3 h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

Paso 8

Mueve el término $3 x$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3 x^{2} - lim_{h \to 0} 3 h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

Paso 9

Evalúa el límite de $3 x^{2}$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - lim_{h \to 0} 3 h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

Paso 10

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

Paso 11

Evalúa el límite de $6 x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

Paso 12

Evalúa el límite de $12$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - 6 x - 1 \cdot 12)$

Paso 13

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $h$ .

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Paso 13.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{3} (0^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - 6 x - 1 \cdot 12)$

Paso 13.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{3} (0^{2} + 3 x \cdot 0 + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - 6 x - 1 \cdot 12)$

Paso 13.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{3} (0^{2} + 3 x \cdot 0 + 3 x^{2} - 3 \cdot 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

Paso 14

Simplifica la respuesta.

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Paso 14.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{3} (0 + 3 x \cdot 0 + 3 x^{2} - 3 \cdot 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

Paso 14.1.2

Multiplica $3 x \cdot 0$ .

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Paso 14.1.2.1

Multiplica $0$ por $3$ .

$\frac{1}{3} (0 + 0 x + 3 x^{2} - 3 \cdot 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

Paso 14.1.2.2

Multiplica $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} (0 + 0 + 3 x^{2} - 3 \cdot 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

Paso 14.1.3

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$\frac{1}{3} (0 + 0 + 3 x^{2} + 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

Paso 14.1.4

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$\frac{1}{3} (0 + 0 + 3 x^{2} + 0 - 6 x - 12)$

Paso 14.2

Combina los términos opuestos en $0 + 0 + 3 x^{2} + 0 - 6 x - 12$ .

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Paso 14.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{1}{3} (0 + 3 x^{2} + 0 - 6 x - 12)$

Paso 14.2.2

Suma $0$ y $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2} + 0 - 6 x - 12)$

Paso 14.2.3

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2} - 6 x - 12)$

Paso 14.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{1}{3} (- 6 x) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

Paso 14.4

Simplifica.

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Paso 14.4.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 14.4.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (3 (x^{2})) + \frac{1}{3} (- 6 x) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

Paso 14.4.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{1}{3} (- 6 x) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

Paso 14.4.1.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} + \frac{1}{3} (- 6 x) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

Paso 14.4.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 14.4.2.1

Factoriza $3$ de $- 6 x$ .

$x^{2} + \frac{1}{3} (3 (- 2 x)) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

Paso 14.4.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} + \frac{1}{3} (3 (- 2 x)) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

Paso 14.4.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} - 2 x + \frac{1}{3} \cdot - 12$

Paso 14.4.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 14.4.3.1

Factoriza $3$ de $- 12$ .

$x^{2} - 2 x + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 4))$

Paso 14.4.3.2

Cancela el factor común.

$x^{2} - 2 x + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 4)$

Paso 14.4.3.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} - 2 x - 4$

Paso 15