Cálculo Ejemplos

$f (t) = K t^{2}$

Paso 1

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{f (t + h) - f t}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = t + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $t$ con $t + h$ en la expresión.

$f (t + h) = K {(t + h)}^{2}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe ${(t + h)}^{2}$ como $(t + h) (t + h)$ .

$f (t + h) = K ((t + h) (t + h))$

Paso 2.1.2.2

Expande $(t + h) (t + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (t + h) = K (t (t + h) + h (t + h))$

Paso 2.1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (t + h) = K (t \cdot t + t h + h (t + h))$

Paso 2.1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (t + h) = K (t \cdot t + t h + h t + h \cdot h)$

Paso 2.1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Multiplica $t$ por $t$ .

$f (t + h) = K (t^{2} + t h + h t + h \cdot h)$

Paso 2.1.2.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (t + h) = K (t^{2} + t h + h t + h^{2})$

Paso 2.1.2.3.2

Suma $t h$ y $h t$ .

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Paso 2.1.2.3.2.1

Reordena $t$ y $h$ .

$f (t + h) = K (t^{2} + h t + h t + h^{2})$

Paso 2.1.2.3.2.2

Suma $h t$ y $h t$ .

$f (t + h) = K (t^{2} + 2 h t + h^{2})$

Paso 2.1.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (t + h) = K t^{2} + K (2 h t) + K h^{2}$

Paso 2.1.2.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (t + h) = K t^{2} + 2 K h t + K h^{2}$

Paso 2.1.2.6

La respuesta final es $K t^{2} + 2 K h t + K h^{2}$ .

$K t^{2} + 2 K h t + K h^{2}$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $K t^{2}$ .

$2 K h t + K h^{2} + K t^{2}$

Paso 2.2.2

Reordena $2 K h t$ y $K h^{2}$ .

$K h^{2} + 2 K h t + K t^{2}$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (t + h) = K h^{2} + 2 K h t + K t^{2}$

$f (t) = K t^{2}$

$f (t + h) = K h^{2} + 2 K h t + K t^{2}$

$f (t) = K t^{2}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h^{2} + 2 K h t + K t^{2} - (K t^{2})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Resta $K t^{2}$ de $K t^{2}$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h^{2} + 2 K h t + 0}{h}$

Paso 4.1.2

Suma $K h^{2} + 2 K h t$ y $0$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h^{2} + 2 K h t}{h}$

Paso 4.1.3

Factoriza $K h$ de $K h^{2} + 2 K h t$ .

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Paso 4.1.3.1

Factoriza $K h$ de $K h^{2}$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h \cdot h + 2 K h t}{h}$

Paso 4.1.3.2

Factoriza $K h$ de $2 K h t$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h \cdot h + K h (2 t)}{h}$

Paso 4.1.3.3

Factoriza $K h$ de $K h \cdot h + K h (2 t)$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h (h + 2 t)}{h}$

Paso 4.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h (h + 2 t)}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $K (h + 2 t)$ por $1$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} K (h + 2 t)$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (t) = lim_{h \to 0} K h + K (2 t)$

Paso 4.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f' (t) = lim_{h \to 0} K h + 2 K t$

Paso 4.2.3.2

Reordena $K h$ y $2 K t$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} 2 K t + K h$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 K t + lim_{h \to 0} K h$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $2 K t$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$2 K t + lim_{h \to 0} K h$

Paso 5.3

Mueve el término $K$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$2 K t + K lim_{h \to 0} h$

Paso 6

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$2 K t + K \cdot 0$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Multiplica $K$ por $0$ .

$2 K t + 0$

Paso 7.2

Suma $2 K t$ y $0$ .

$2 K t$

Paso 8