Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$

Paso 1

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 5 {(x + h)}^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Usa el teorema del binomio.

$f (x + h) = 5 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - 3 {(x + h)}^{5}$

Paso 2.1.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 5 (3 x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Paso 2.1.2.1.3

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1.3.1

Multiplica $3$ por $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Paso 2.1.2.1.3.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 15 (x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Paso 2.1.2.1.4

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Paso 2.1.2.1.5

Usa el teorema del binomio.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 (x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5})$

Paso 2.1.2.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 3 (5 x^{4} h) - 3 (10 x^{3} h^{2}) - 3 (10 x^{2} h^{3}) - 3 (5 x h^{4}) - 3 h^{5}$

Paso 2.1.2.1.7

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1.7.1

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 (x^{4} h) - 3 (10 x^{3} h^{2}) - 3 (10 x^{2} h^{3}) - 3 (5 x h^{4}) - 3 h^{5}$

Paso 2.1.2.1.7.2

Multiplica $10$ por $- 3$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 (x^{4} h) - 30 (x^{3} h^{2}) - 3 (10 x^{2} h^{3}) - 3 (5 x h^{4}) - 3 h^{5}$

Paso 2.1.2.1.7.3

Multiplica $10$ por $- 3$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 (x^{4} h) - 30 (x^{3} h^{2}) - 30 (x^{2} h^{3}) - 3 (5 x h^{4}) - 3 h^{5}$

Paso 2.1.2.1.7.4

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 (x^{4} h) - 30 (x^{3} h^{2}) - 30 (x^{2} h^{3}) - 15 (x h^{4}) - 3 h^{5}$

Paso 2.1.2.1.8

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$ .

$5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Paso 2.2.2

Mueve $x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Paso 2.2.3

Mueve $x^{4}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Paso 2.2.4

Mueve $x^{3}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Paso 2.2.5

Mueve $x^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Paso 2.2.6

Mueve $x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5}$

Paso 2.2.7

Mueve $5 x^{3}$ .

$15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} + 5 x^{3}$

Paso 2.2.8

Mueve $15 h x^{2}$ .

$15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Paso 2.2.9

Mueve $15 h^{2} x$ .

$5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Paso 2.2.10

Mueve $5 h^{3}$ .

$- 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Paso 2.2.11

Mueve $- 3 x^{5}$ .

$- 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Paso 2.2.12

Mueve $- 15 h x^{4}$ .

$- 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Paso 2.2.13

Mueve $- 30 h^{2} x^{3}$ .

$- 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Paso 2.2.14

Mueve $- 30 h^{3} x^{2}$ .

$- 15 h^{4} x - 3 h^{5} - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Paso 2.2.15

Reordena $- 15 h^{4} x$ y $- 3 h^{5}$ .

$- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = - 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$

$f (x + h) = - 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - (5 x^{3} - 3 x^{5})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - (5 x^{3}) - (- 3 x^{5})}{h}$

Paso 4.1.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3} - (- 3 x^{5})}{h}$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3} + 3 x^{5}}{h}$

Paso 4.1.4

Suma $- 3 x^{5}$ y $3 x^{5}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3} + 0}{h}$

Paso 4.1.5

Suma $- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3}$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3}}{h}$

Paso 4.1.6

Resta $5 x^{3}$ de $5 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 0}{h}$

Paso 4.1.7

Suma $- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Paso 4.1.8

Factoriza $h$ de $- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}$ .

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Paso 4.1.8.1

Factoriza $h$ de $- 3 h^{5}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Paso 4.1.8.2

Factoriza $h$ de $- 15 h^{4} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Paso 4.1.8.3

Factoriza $h$ de $- 30 h^{3} x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Paso 4.1.8.4

Factoriza $h$ de $- 30 h^{2} x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Paso 4.1.8.5

Factoriza $h$ de $- 15 h x^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Paso 4.1.8.6

Factoriza $h$ de $5 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Paso 4.1.8.7

Factoriza $h$ de $15 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + 15 h x^{2}}{h}$

Paso 4.1.8.8

Factoriza $h$ de $15 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Paso 4.1.8.9

Factoriza $h$ de $h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Paso 4.1.8.10

Factoriza $h$ de $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Paso 4.1.8.11

Factoriza $h$ de $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Paso 4.1.8.12

Factoriza $h$ de $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Paso 4.1.8.13

Factoriza $h$ de $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4}) + h (5 h^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Paso 4.1.8.14

Factoriza $h$ de $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2}) + h (15 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Paso 4.1.8.15

Factoriza $h$ de $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2})}{h}$

Paso 4.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2})}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$

Paso 4.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.1

Mueve $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$

Paso 4.2.2.2

Mueve $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$

Paso 4.2.2.3

Mueve $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$

Paso 4.2.2.4

Mueve $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 x h + 15 x^{2}$

Paso 4.2.2.5

Mueve $5 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} + 15 x h + 15 x^{2} + 5 h^{2}$

Paso 4.2.2.6

Mueve $15 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Paso 4.2.2.7

Mueve $- 3 h^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} - 3 h^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Paso 4.2.2.8

Mueve $- 15 x h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} - 15 x h^{3} - 3 h^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Paso 4.2.2.9

Mueve $- 30 x^{2} h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} - 30 x^{2} h^{2} - 15 x h^{3} - 3 h^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Paso 4.2.2.10

Reordena $- 30 x^{3} h$ y $- 15 x^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 15 x^{4} - 30 x^{3} h - 30 x^{2} h^{2} - 15 x h^{3} - 3 h^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$- lim_{h \to 0} 15 x^{4} - lim_{h \to 0} 30 x^{3} h - lim_{h \to 0} 30 x^{2} h^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Paso 6

Evalúa el límite de $15 x^{4}$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- 15 x^{4} - lim_{h \to 0} 30 x^{3} h - lim_{h \to 0} 30 x^{2} h^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Paso 7

Mueve el término $30 x^{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 30 x^{2} h^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Paso 8

Mueve el término $30 x^{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Paso 9

Mueve el exponente $2$ de $h^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Paso 10

Mueve el término $15 x$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x lim_{h \to 0} h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Paso 11

Mueve el exponente $3$ de $h^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Paso 12

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 lim_{h \to 0} h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Paso 13

Mueve el exponente $4$ de $h^{4}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Paso 14

Evalúa el límite de $15 x^{2}$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Paso 15

Mueve el término $15 x$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Paso 16

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 lim_{h \to 0} h^{2}$

Paso 17

Mueve el exponente $2$ de $h^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Paso 18

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $h$ .

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Paso 18.1