Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{5}$

Paso 1

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = {(x + h)}^{5}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Usa el teorema del binomio.

$f (x + h) = x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$ .

$x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

Paso 2.2

Reordena.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Mueve $x^{4}$ .

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

Paso 2.2.2

Mueve $x^{3}$ .

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

Paso 2.2.3

Mueve $x^{2}$ .

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 x h^{4} + h^{5}$

Paso 2.2.4

Mueve $x$ .

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5}$

Paso 2.2.5

Mueve $x^{5}$ .

$5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5} + x^{5}$

Paso 2.2.6

Mueve $5 h x^{4}$ .

$10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5} + 5 h x^{4} + x^{5}$

Paso 2.2.7

Mueve $10 h^{2} x^{3}$ .

$10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

Paso 2.2.8

Mueve $10 h^{3} x^{2}$ .

$5 h^{4} x + h^{5} + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

Paso 2.2.9

Reordena $5 h^{4} x$ y $h^{5}$ .

$h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

$f (x) = x^{5}$

$f (x + h) = h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

$f (x) = x^{5}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5} - (x^{5})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Resta $x^{5}$ de $x^{5}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + 0}{h}$

Paso 4.1.2

Suma $h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

Paso 4.1.3

Factoriza $h$ de $h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1

Factoriza $h$ de $h^{5}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{4} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Factoriza $h$ de $5 h^{4} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Factoriza $h$ de $10 h^{3} x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

Paso 4.1.3.4

Factoriza $h$ de $10 h^{2} x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + 5 h x^{4}}{h}$

Paso 4.1.3.5

Factoriza $h$ de $5 h x^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

Paso 4.1.3.6

Factoriza $h$ de $h (h^{4}) + h (5 h^{3} x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

Paso 4.1.3.7

Factoriza $h$ de $h (h^{4} + 5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

Paso 4.1.3.8

Factoriza $h$ de $h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

Paso 4.1.3.9

Factoriza $h$ de $h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3}) + h (5 x^{4})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4})}{h}$

Paso 4.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4})}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$

Paso 4.2.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Mueve $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 x h^{3} + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$

Paso 4.2.2.2

Mueve $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 x h^{3} + 10 x^{2} h^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$

Paso 4.2.2.3

Mueve $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 x h^{3} + 10 x^{2} h^{2} + 10 x^{3} h + 5 x^{4}$

Paso 4.2.2.4

Mueve $h^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + 10 x^{2} h^{2} + 10 x^{3} h + 5 x^{4} + h^{4}$

Paso 4.2.2.5

Mueve $5 x h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + 10 x^{3} h + 5 x^{4} + 5 x h^{3} + h^{4}$

Paso 4.2.2.6

Mueve $10 x^{2} h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 10 x^{3} h + 5 x^{4} + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}$

Paso 4.2.2.7

Reordena $10 x^{3} h$ y $5 x^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$lim_{h \to 0} 5 x^{4} + lim_{h \to 0} 10 x^{3} h + lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

Paso 6

Evalúa el límite de $5 x^{4}$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$5 x^{4} + lim_{h \to 0} 10 x^{3} h + lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

Paso 7

Mueve el término $10 x^{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

Paso 8

Mueve el término $10 x^{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

Paso 9

Mueve el exponente $2$ de $h^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

Paso 10

Mueve el término $5 x$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x lim_{h \to 0} h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

Paso 11

Mueve el exponente $3$ de $h^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

Paso 12

Mueve el exponente $4$ de $h^{4}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

Paso 13

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $h$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

Paso 13.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

Paso 13.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

Paso 13.4

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

Paso 14

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.1

Multiplica $10 x^{3} \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.1.1

Multiplica $0$ por $10$ .

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

Paso 14.1.1.2

Multiplica $0$ por $x^{3}$ .

$5 x^{4} + 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

Paso 14.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$5 x^{4} + 0 + 10 x^{2} \cdot 0 + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

Paso 14.1.3

Multiplica $10 x^{2} \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.3.1

Multiplica $0$ por $10$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 x^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

Paso 14.1.3.2

Multiplica $0$ por $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

Paso 14.1.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 + 5 x \cdot 0 + 0^{4}$

Paso 14.1.5

Multiplica $5 x \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.5.1

Multiplica $0$ por $5$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0 x + 0^{4}$

Paso 14.1.5.2

Multiplica $0$ por $x$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0^{4}$

Paso 14.1.6

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0$

Paso 14.2

Combina los términos opuestos en $5 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1

Suma $5 x^{4}$ y $0$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0$

Paso 14.2.2

Suma $5 x^{4}$ y $0$ .

$5 x^{4} + 0 + 0$

Paso 14.2.3

Suma $5 x^{4}$ y $0$ .

$5 x^{4} + 0$

Paso 14.2.4

Suma $5 x^{4}$ y $0$ .

$5 x^{4}$

Paso 15