Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4}$

Paso 1

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = {(x + h)}^{4}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Usa el teorema del binomio.

$f (x + h) = x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$ .

$x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

Paso 2.2.2

Mueve $x^{2}$ .

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

Paso 2.2.3

Mueve $x$ .

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4}$

Paso 2.2.4

Mueve $x^{4}$ .

$4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + x^{4}$

Paso 2.2.5

Mueve $4 h x^{3}$ .

$6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + 4 h x^{3} + x^{4}$

Paso 2.2.6

Mueve $6 h^{2} x^{2}$ .

$4 h^{3} x + h^{4} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4}$

Paso 2.2.7

Reordena $4 h^{3} x$ y $h^{4}$ .

$h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4}$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4}$

$f (x) = x^{4}$

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4}$

$f (x) = x^{4}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} - (x^{4})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Resta $x^{4}$ de $x^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 0}{h}$

Paso 4.1.2

Suma $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}}{h}$

Paso 4.1.3

Factoriza $h$ de $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}$ .

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Paso 4.1.3.1

Factoriza $h$ de $h^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{3} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Factoriza $h$ de $4 h^{3} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Factoriza $h$ de $6 h^{2} x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + 4 h x^{3}}{h}$

Paso 4.1.3.4

Factoriza $h$ de $4 h x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3})}{h}$

Paso 4.1.3.5

Factoriza $h$ de $h (h^{3}) + h (4 h^{2} x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3})}{h}$

Paso 4.1.3.6

Factoriza $h$ de $h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3})}{h}$

Paso 4.1.3.7

Factoriza $h$ de $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3})}{h}$

Paso 4.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3})}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}$

Paso 4.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.1

Mueve $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 x h^{2} + 6 h x^{2} + 4 x^{3}$

Paso 4.2.2.2

Mueve $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3}$

Paso 4.2.2.3

Mueve $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + h^{3}$

Paso 4.2.2.4

Mueve $4 x h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x^{2} h + 4 x^{3} + 4 x h^{2} + h^{3}$

Paso 4.2.2.5

Reordena $6 x^{2} h$ y $4 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 x^{3} + 6 x^{2} h + 4 x h^{2} + h^{3}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$lim_{h \to 0} 4 x^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} h + lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

Paso 6

Evalúa el límite de $4 x^{3}$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$4 x^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} h + lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

Paso 7

Mueve el término $6 x^{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

Paso 8

Mueve el término $4 x$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

Paso 9

Mueve el exponente $2$ de $h^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

Paso 10

Mueve el exponente $3$ de $h^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3}$

Paso 11

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $h$ .

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Paso 11.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 0 + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3}$

Paso 11.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 0 + 4 x \cdot 0^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3}$

Paso 11.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 0 + 4 x \cdot 0^{2} + 0^{3}$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

Multiplica $6 x^{2} \cdot 0$ .

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Paso 12.1.1.1

Multiplica $0$ por $6$ .

$4 x^{3} + 0 x^{2} + 4 x \cdot 0^{2} + 0^{3}$

Paso 12.1.1.2

Multiplica $0$ por $x^{2}$ .

$4 x^{3} + 0 + 4 x \cdot 0^{2} + 0^{3}$

Paso 12.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 x^{3} + 0 + 4 x \cdot 0 + 0^{3}$

Paso 12.1.3

Multiplica $4 x \cdot 0$ .

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Paso 12.1.3.1

Multiplica $0$ por $4$ .

$4 x^{3} + 0 + 0 x + 0^{3}$

Paso 12.1.3.2

Multiplica $0$ por $x$ .

$4 x^{3} + 0 + 0 + 0^{3}$

Paso 12.1.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 x^{3} + 0 + 0 + 0$

Paso 12.2

Combina los términos opuestos en $4 x^{3} + 0 + 0 + 0$ .

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Paso 12.2.1

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$4 x^{3} + 0 + 0$

Paso 12.2.2

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Paso 12.2.3

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$4 x^{3}$

Paso 13