Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} - 3 x$

Paso 1

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 3 (x + h)$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Usa el teorema del binomio.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 (x + h)$

Paso 2.1.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 x - 3 h$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 x - 3 h$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 x - 3 h$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 x - 3 h$

Paso 2.2.2

Mueve $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 3 x - 3 h$

Paso 2.2.3

Mueve $- 3 x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 3 h - 3 x$

Paso 2.2.4

Mueve $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 3 h - 3 x$

Paso 2.2.5

Mueve $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h - 3 x$

Paso 2.2.6

Reordena $3 h^{2} x$ y $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h - 3 x$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h - 3 x$

$f (x) = x^{3} - 3 x$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h - 3 x$

$f (x) = x^{3} - 3 x$

Paso 3

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h - 3 x - (x^{3} - 3 x)}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h - 3 x - x^{3} - (- 3 x)}{h}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h - 3 x - x^{3} + 3 x}{h}$

Paso 4.1.3

Resta $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h - 3 x + 0 + 3 x}{h}$

Paso 4.1.4

Suma $h^{3}$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h - 3 x + 3 x}{h}$

Paso 4.1.5

Suma $- 3 x$ y $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h + 0}{h}$

Paso 4.1.6

Suma $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h}{h}$

Paso 4.1.7

Factoriza $h$ de $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h$ .

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Paso 4.1.7.1

Factoriza $h$ de $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h}{h}$

Paso 4.1.7.2

Factoriza $h$ de $3 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} - 3 h}{h}$

Paso 4.1.7.3

Factoriza $h$ de $3 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) - 3 h}{h}$

Paso 4.1.7.4

Factoriza $h$ de $- 3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Paso 4.1.7.5

Factoriza $h$ de $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Paso 4.1.7.6

Factoriza $h$ de $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Paso 4.1.7.7

Factoriza $h$ de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot - 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3)}{h}$

Paso 4.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3)}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3$

Paso 4.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.1

Mueve $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 3$

Paso 4.2.2.2

Mueve $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x h + 3 x^{2} + h^{2} - 3$

Paso 4.2.2.3

Reordena $3 x h$ y $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x^{2} + 3 x h + h^{2} - 3$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Paso 6

Evalúa el límite de $3 x^{2}$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Paso 7

Mueve el término $3 x$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Paso 8

Mueve el exponente $2$ de $h^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Paso 9

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 3$

Paso 10

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $h$ .

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Paso 10.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 3$

Paso 10.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2} - 1 \cdot 3$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.1.1

Multiplica $3 x \cdot 0$ .

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Paso 11.1.1.1

Multiplica $0$ por $3$ .

$3 x^{2} + 0 x + 0^{2} - 1 \cdot 3$

Paso 11.1.1.2

Multiplica $0$ por $x$ .

$3 x^{2} + 0 + 0^{2} - 1 \cdot 3$

Paso 11.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0 - 1 \cdot 3$

Paso 11.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 x^{2} + 0 + 0 - 3$

Paso 11.2

Combina los términos opuestos en $3 x^{2} + 0 + 0 - 3$ .

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Paso 11.2.1

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$3 x^{2} + 0 - 3$

Paso 11.2.2

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$3 x^{2} - 3$

Paso 12