Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 \sqrt{x}$

Paso 1

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 2 \sqrt{x + h}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = 2 \sqrt{x + h}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $2 \sqrt{x + h}$ .

$2 \sqrt{x + h}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = 2 \sqrt{x + h}$

$f (x) = 2 \sqrt{x}$

$f (x + h) = 2 \sqrt{x + h}$

$f (x) = 2 \sqrt{x}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 \sqrt{x + h} - (2 \sqrt{x})}{h}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + h}$ como ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot (2 \sqrt{x})}{h}$

Paso 4.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot (2 x^{\frac{1}{2}})}{h}$

Paso 4.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}}{h}$

Paso 4.4

Factoriza $2$ de $2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $2$ de $2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}}{h}$

Paso 4.4.2

Factoriza $2$ de $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2}})}{h}$

Paso 4.4.3

Factoriza $2$ de $2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2}})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 ({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}})}{h}$

Paso 5

Como no hay valores a la izquierda de $0$ en el dominio de $\frac{2 ({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}})}{h}$ , el límite no existe.

$No existe$

Paso 6