Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

Paso 1

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} e^{- (x + h)}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) e^{- (x + h)}$

Paso 2.1.2.2

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = (x (x + h) + h (x + h)) e^{- (x + h)}$

Paso 2.1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = (x \cdot x + x h + h (x + h)) e^{- (x + h)}$

Paso 2.1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) e^{- (x + h)}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) e^{- (x + h)}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = (x^{2} + x h + h x + h^{2}) e^{- (x + h)}$

Paso 2.1.2.3.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 2.1.2.3.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = (x^{2} + h x + h x + h^{2}) e^{- (x + h)}$

Paso 2.1.2.3.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = (x^{2} + 2 h x + h^{2}) e^{- (x + h)}$

Paso 2.1.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = (x^{2} + 2 h x + h^{2}) e^{- x - h}$

Paso 2.1.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = x^{2} e^{- x - h} + 2 h x e^{- x - h} + h^{2} e^{- x - h}$

Paso 2.1.2.6

La respuesta final es $x^{2} e^{- x - h} + 2 h x e^{- x - h} + h^{2} e^{- x - h}$ .

$x^{2} e^{- x - h} + 2 h x e^{- x - h} + h^{2} e^{- x - h}$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Reordena $- x$ y $- h$ .

$x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- x - h} + h^{2} e^{- x - h}$

Paso 2.2.2

Reordena $- x$ y $- h$ .

$x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- x - h}$

Paso 2.2.3

Reordena $- x$ y $- h$ .

$x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x}$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x}$

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

$f (x + h) = x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x}$

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x} - (x^{2} e^{- x})}{h}$

Paso 4

Elimina los paréntesis.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x} - x^{2} e^{- x}}{h}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 5.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} x^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.2

Mueve el término $x^{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{x^{2} lim_{h \to 0} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{x^{2} e^{lim_{h \to 0} - h - x} + lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x} + lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.5

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.6

Mueve el término $2 x$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h e^{- h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.7

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot lim_{h \to 0} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.8

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} - h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.9

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.10

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.11

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} \cdot lim_{h \to 0} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.12

Mueve el exponente $2$ de $h^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.13

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{lim_{h \to 0} - h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.14

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.15

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.16

Evalúa el límite de $x^{2} e^{- x}$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.17

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $h$ .

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Paso 5.1.2.17.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{x^{2} e^{0 - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.17.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{x^{2} e^{0 - x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.17.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{x^{2} e^{0 - x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.17.4

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{x^{2} e^{0 - x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 0^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.17.5

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{x^{2} e^{0 - x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 0^{2} \cdot e^{0 - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.18

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1.2.18.1

Combina los términos opuestos en $x^{2} e^{0 - x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 0^{2} \cdot e^{0 - x} - x^{2} e^{- x}$ .

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Paso 5.1.2.18.1.1

Resta $x$ de $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 0^{2} \cdot e^{0 - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.18.1.2

Resta $x$ de $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 0^{2} \cdot e^{0 - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.18.1.3

Resta $x$ de $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 0^{2} \cdot e^{- x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.18.1.4

Resta $x^{2} e^{- x}$ de $x^{2} e^{- x}$ .

$\frac{2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 0^{2} \cdot e^{- x} + 0}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.18.1.5

Suma $2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 0^{2} \cdot e^{- x}$ y $0$ .

$\frac{2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 0^{2} \cdot e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.18.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.18.2.1

Multiplica $2 x \cdot 0$ .

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Paso 5.1.2.18.2.1.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$\frac{0 x \cdot e^{- x} + 0^{2} \cdot e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.18.2.1.2

Multiplica $0$ por $x$ .

$\frac{0 \cdot e^{- x} + 0^{2} \cdot e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.18.2.2

Multiplica $0$ por $e^{- x}$ .

$\frac{0 + 0^{2} \cdot e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.18.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0 + 0 \cdot e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.18.2.4

Multiplica $0$ por $e^{- x}$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.18.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 5.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 5.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x} - x^{2} e^{- x}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x} - x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x} - x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x} - x^{2} e^{- x}$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [x^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3

Evalúa $\frac{d}{d h} [x^{2} e^{- h - x}]$ .

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Paso 5.3.3.1

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $x^{2} e^{- h - x}$ con respecto a $h$ es $x^{2} \frac{d}{d h} [e^{- h - x}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} \frac{d}{d h} [e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ es $f' (g (h)) g' (h)$ donde $f (h) = e^{h}$ y $g (h) = - h - x$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- h - x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d h} [- h - x]) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d h} [- h - x]) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- h - x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{- h - x} \frac{d}{d h} [- h - x]) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $- h - x$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [- h] + \frac{d}{d h} [- x]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{- h - x} (\frac{d}{d h} [- h] + \frac{d}{d h} [- x])) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- h$ con respecto a $h$ es $- \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{- h - x} (- \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- x])) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- x])) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.6

Como $- x$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- x$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{- h - x} (- 1 + 0)) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.8

Suma $- 1$ y $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{- h - x} \cdot - 1) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.9

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- h - x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- 1 \cdot e^{- h - x}) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.10

Reescribe $- 1 e^{- h - x}$ como $- e^{- h - x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.4

Evalúa $\frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}]$ .

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Paso 5.3.4.1

Como $2 x$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $2 h x e^{- h - x}$ con respecto a $h$ es $2 x \frac{d}{d h} [h e^{- h - x}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x \frac{d}{d h} [h e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.4.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ es $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ donde $f (h) = h$ y $g (h) = e^{- h - x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h \frac{d}{d h} [e^{- h - x}] + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ es $f' (g (h)) g' (h)$ donde $f (h) = e^{h}$ y $g (h) = - h - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- h - x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d h} [- h - x]) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.4.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{u_{2}} \frac{d}{d h} [- h - x]) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- h - x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} \frac{d}{d h} [- h - x]) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.4.4

Según la regla de la suma, la derivada de $- h - x$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [- h] + \frac{d}{d h} [- x]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} (\frac{d}{d h} [- h] + \frac{d}{d h} [- x])) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.4.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- h$ con respecto a $h$ es $- \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} (- \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- x])) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- x])) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.4.7

Como $- x$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- x$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + 0)) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.4.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + 0)) + e^{- h - x} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.4.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} (- 1 + 0)) + e^{- h - x} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.4.10

Suma $- 1$ y $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} \cdot - 1) + e^{- h - x} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.4.11

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- h - x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- 1 \cdot e^{- h - x}) + e^{- h - x} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.4.12

Reescribe $- 1 e^{- h - x}$ como $- e^{- h - x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.4.13

Multiplica $e^{- h - x}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.5

Evalúa $\frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ es $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ donde $f (h) = h^{2}$ y $g (h) = e^{- h - x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} \frac{d}{d h} [e^{- h - x}] + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.5.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ es $f' (g (h)) g' (h)$ donde $f (h) = e^{h}$ y $g (h) = - h - x$ .

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Paso 5.3.5.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $- h - x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d h} [- h - x]) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.5.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ es $a^{u_{3}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{u_{3}} \frac{d}{d h} [- h - x]) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.5.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $- h - x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} \frac{d}{d h} [- h - x]) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.5.3

Según la regla de la suma, la derivada de $- h - x$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [- h] + \frac{d}{d h} [- x]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} (\frac{d}{d h} [- h] + \frac{d}{d h} [- x])) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.5.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- h$ con respecto a $h$ es $- \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} (- \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- x])) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.5.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- x])) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.5.6

Como $- x$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- x$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + 0)) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.5.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + 0)) + e^{- h - x} (2 h) + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.5.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} (- 1 + 0)) + e^{- h - x} (2 h) + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.5.9

Suma $- 1$ y $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} \cdot - 1) + e^{- h - x} (2 h) + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.5.10

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- h - x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (- 1 \cdot e^{- h - x}) + e^{- h - x} (2 h) + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.5.11

Reescribe $- 1 e^{- h - x}$ como $- e^{- h - x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (- e^{- h - x}) + e^{- h - x} (2 h) + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.6

Como $- x^{2} e^{- x}$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- x^{2} e^{- x}$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (- e^{- h - x}) + e^{- h - x} (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.7

Simplifica.

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Paso 5.3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x})) + 2 x e^{- h - x} + h^{2} (- e^{- h - x}) + e^{- h - x} (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.7.2

Combina los términos.

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Paso 5.3.7.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) - 2 x (h (e^{- h - x})) + 2 x e^{- h - x} + h^{2} (- e^{- h - x}) + e^{- h - x} (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.7.2.2

Suma $x^{2} (- e^{- h - x}) - 2 x (h (e^{- h - x})) + 2 x e^{- h - x} + h^{2} (- e^{- h - x}) + e^{- h - x} (2 h)$ y $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) - 2 x (h (e^{- h - x})) + 2 x e^{- h - x} + h^{2} (- e^{- h - x}) + e^{- h - x} (2 h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.7.3

Reordena los términos.

$lim_{h \to 0} \frac{- e^{- h - x} x^{2} - 2 e^{- h - x} h x + 2 e^{- h - x} x - e^{- h - x} h^{2} + 2 e^{- h - x} h}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.7.4

Reordena los factores en $- e^{- h - x} x^{2} - 2 e^{- h - x} h x + 2 e^{- h - x} x - e^{- h - x} h^{2} + 2 e^{- h - x} h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- x^{2} e^{- h - x} - 2 h x e^{- h - x} + 2 x e^{- h - x} - h^{2} e^{- h - x} + 2 h e^{- h - x}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- x^{2} e^{- h - x} - 2 h x e^{- h - x} + 2 x e^{- h - x} - h^{2} e^{- h - x} + 2 h e^{- h - x}}{1}$

Paso 5.4

Divide $- x^{2} e^{- h - x} - 2 h x e^{- h - x} + 2 x e^{- h - x} - h^{2} e^{- h - x} + 2 h e^{- h - x}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} - x^{2} e^{- h - x} - 2 h x e^{- h - x} + 2 x e^{- h - x} - h^{2} e^{- h - x} + 2 h e^{- h - x}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$- lim_{h \to 0} x^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Paso 6.2

Mueve el término $x^{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- x^{2} lim_{h \to 0} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Paso 6.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$- x^{2} e^{lim_{h \to 0} - h - x} - lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Paso 6.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x} - lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Paso 6.5

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Paso 6.6

Mueve el término $2 x$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Paso 6.7

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot lim_{h \to 0} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Paso 6.8

Mueve el límite dentro del exponente.

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} - h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Paso 6.9

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Paso 6.10

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Paso 6.11

Mueve el término $2 x$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Paso 6.12

Mueve el límite dentro del exponente.

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{lim_{h \to 0} - h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Paso 6.13

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Paso 6.14

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Paso 6.15

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} \cdot lim_{h \to 0} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Paso 6.16

Mueve el exponente $2$ de $h^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Paso 6.17

Mueve el límite dentro del exponente.

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{lim_{h \to 0} - h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Paso 6.18

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Paso 6.19

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Paso 6.20

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 lim_{h \to 0} h e^{- h - x}$

Paso 6.21

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

Paso 6.22

Mueve el límite dentro del exponente.

Paso 6.23

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

Paso 6.24

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

Paso 7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $h$ .

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Paso 7.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x}$

Paso 7.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x}$

Paso 7.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x}$

Paso 7.4

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{0 - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x}$

Paso 7.5

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{0 - x} - 0^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x}$

Paso 7.6

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{0 - x} - 0^{2} \cdot e^{0 - x} + 2 lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x}$

Paso 7.7

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{0 - x} - 0^{2} \cdot e^{0 - x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x}$

Paso 7.8

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{0 - x} - 0^{2} \cdot e^{0 - x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0 - x}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Combina los términos opuestos en $- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{0 - x} - 0^{2} \cdot e^{0 - x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0 - x}$ .

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Paso 8.1.1

Resta $x$ de $0$ .

$- x^{2} e^{- x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{0 - x} - 0^{2} \cdot e^{0 - x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0 - x}$

Paso 8.1.2

Resta $x$ de $0$ .

$- x^{2} e^{- x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 2 x e^{0 - x} - 0^{2} \cdot e^{0 - x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0 - x}$

Paso 8.1.3

Resta $x$ de $0$ .

$- x^{2} e^{- x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 2 x e^{- x} - 0^{2} \cdot e^{0 - x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0 - x}$

Paso 8.1.4

Resta $x$ de $0$ .

$- x^{2} e^{- x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 2 x e^{- x} - 0^{2} \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0 - x}$

Paso 8.1.5

Resta $x$ de $0$ .

$- x^{2} e^{- x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 2 x e^{- x} - 0^{2} \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

Paso 8.2

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- x^{2} e^{- x} - 2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 2 x e^{- x} - 0^{2} \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

Paso 8.2.2

Multiplica $- 2 x \cdot 0$ .

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Paso 8.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 2$ .

$- x^{2} e^{- x} + 0 x \cdot e^{- x} + 2 x e^{- x} - 0^{2} \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

Paso 8.2.2.2

Multiplica $0$ por $x$ .

$- x^{2} e^{- x} + 0 \cdot e^{- x} + 2 x e^{- x} - 0^{2} \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

Paso 8.2.3

Multiplica $0$ por $e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 0 + 2 x e^{- x} - 0^{2} \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

Paso 8.2.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 0 + 2 x e^{- x} - 0 \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

Paso 8.2.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 0 + 2 x e^{- x} + 0 \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

Paso 8.2.6

Multiplica $0$ por $e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 0 + 2 x e^{- x} + 0 + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

Paso 8.2.7

Multiplica $2$ por $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 0 + 2 x e^{- x} + 0 + 0 \cdot e^{- x}$

Paso 8.2.8

Multiplica $0$ por $e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 0 + 2 x e^{- x} + 0 + 0$

Paso 8.3

Combina los términos opuestos en $- x^{2} e^{- x} + 0 + 2 x e^{- x} + 0 + 0$ .

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Paso 8.3.1

Suma $- x^{2} e^{- x}$ y $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 0 + 0$

Paso 8.3.2

Suma $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ y $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 0$

Paso 8.3.3

Suma $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ y $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$

Paso 9