Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{27 - 6 x - x^{2}}{x - 3}$

Paso 1

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{27 - 6 (x + h) - {(x + h)}^{2}}{(x + h) - 3}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.1.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.2.1.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 27 = - 27$ y cuya suma es $b = - 6$ .

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Paso 2.1.2.1.1.1.1

Reordena los términos.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + 27 - 6 (x + h)}{x + h - 3}$

Paso 2.1.2.1.1.1.2

Reordena $27$ y $- 6 (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} - 6 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

Paso 2.1.2.1.1.1.3

Reescribe $- 6$ como $3$ más $- 9$

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + (3 - 9) (x + h) + 27}{x + h - 3}$

Paso 2.1.2.1.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + 3 (x + h) - 9 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

Paso 2.1.2.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.2.1.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$f (x + h) = \frac{(- {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)) - 9 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

Paso 2.1.2.1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$f (x + h) = \frac{(x + h) (- (x + h) + 3) + 9 (- (x + h) + 3)}{x + h - 3}$

Paso 2.1.2.1.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- (x + h) + 3$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Paso 2.1.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{(- x - h + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Paso 2.1.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- x - h + 3$ y $x + h - 3$ .

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Paso 2.1.2.2.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x) - h + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Paso 2.1.2.2.1.2

Factoriza $- 1$ de $- h$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x) - (h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Paso 2.1.2.2.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - (h)$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Paso 2.1.2.2.1.4

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1 \cdot - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Paso 2.1.2.2.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x + h) - 1 (- 3)$ .

$f (x + h) = \frac{- (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Paso 2.1.2.2.1.6

Reescribe $- (x + h - 3)$ como $- 1 (x + h - 3)$ .

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Paso 2.1.2.2.1.7

Cancela el factor común.

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Paso 2.1.2.2.1.8

Divide $- 1 (x + h + 9)$ por $1$ .

$f (x + h) = - 1 (x + h + 9)$

Paso 2.1.2.2.2

Reescribe $- 1 (x + h + 9)$ como $- (x + h + 9)$ .

$f (x + h) = - (x + h + 9)$

Paso 2.1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = - x - h - 1 \cdot 9$

Paso 2.1.2.2.4

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$f (x + h) = - x - h - 9$

Paso 2.1.2.3

La respuesta final es $- x - h - 9$ .

$- x - h - 9$

Paso 2.2

Reordena $- x$ y $- h$ .

$- h - x - 9$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = - h - x - 9$

$f (x) = - 9 - x$

$f (x + h) = - h - x - 9$

$f (x) = - 9 - x$

Paso 3

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 - (- 9 - x)}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

Paso 4.1.3

Multiplica $- - x$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + 1 x}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

Paso 4.1.4

Suma $- x$ y $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h + 0 - 9 + 9}{h}$

Paso 4.1.5

Suma $- h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - 9 + 9}{h}$

Paso 4.1.6

Suma $- 9$ y $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h + 0}{h}$

Paso 4.1.7

Suma $- h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{h}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{h}$

Paso 4.2.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 1$

Paso 5

Evalúa el límite de $- 1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- 1$

Paso 6