Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{4 x - 2 x^{2} + 6}{2 x}$

Paso 1

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{4 (x + h) - 2 {(x + h)}^{2} + 6}{2 (x + h)}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Cancela el factor común de $4 (x + h) - 2 {(x + h)}^{2} + 6$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1.1

Factoriza $2$ de $4 (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) - 2 {(x + h)}^{2} + 6}{2 (x + h)}$

Paso 2.1.2.1.2

Factoriza $2$ de $- 2 {(x + h)}^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) + 2 (- {(x + h)}^{2}) + 6}{2 (x + h)}$

Paso 2.1.2.1.3

Factoriza $2$ de $2 (2 (x + h)) + 2 (- {(x + h)}^{2})$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2}) + 6}{2 (x + h)}$

Paso 2.1.2.1.4

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2}) + 2 \cdot 3}{2 (x + h)}$

Paso 2.1.2.1.5

Factoriza $2$ de $2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2}) + 2 (3)$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2} + 3)}{2 (x + h)}$

Paso 2.1.2.1.6

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1.6.1

Cancela el factor común.

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2} + 3)}{2 (x + h)}$

Paso 2.1.2.1.6.2

Reescribe la expresión.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h) - {(x + h)}^{2} + 3}{x + h}$

Paso 2.1.2.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.2.1

Sea $u = x + h$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{2 u - u^{2} + 3}{x + h}$

Paso 2.1.2.2.2

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.2.2.1

Reordena los términos.

$f (x + h) = \frac{- u^{2} + 2 u + 3}{x + h}$

Paso 2.1.2.2.2.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ y cuya suma es $b = 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 u$ .

$f (x + h) = \frac{- u^{2} + 2 (u) + 3}{x + h}$

Paso 2.1.2.2.2.2.2

Reescribe $2$ como $- 1$ más $3$

$f (x + h) = \frac{- u^{2} + (- 1 + 3) u + 3}{x + h}$

Paso 2.1.2.2.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{- u^{2} - 1 u + 3 u + 3}{x + h}$

Paso 2.1.2.2.2.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.2.2.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$f (x + h) = \frac{(- u^{2} - 1 u) + 3 u + 3}{x + h}$

Paso 2.1.2.2.2.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$f (x + h) = \frac{u (- u - 1) - 3 (- u - 1)}{x + h}$

Paso 2.1.2.2.2.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- u - 1$ .

$f (x + h) = \frac{(- u - 1) (u - 3)}{x + h}$

Paso 2.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Paso 2.1.2.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{(- x - h - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica con la obtención del factor común.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x) - h - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Paso 2.1.2.3.2

Factoriza $- 1$ de $- h$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x) - (h) - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Paso 2.1.2.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - (h)$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Paso 2.1.2.3.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1 \cdot 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Paso 2.1.2.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (x + h) - 1 (1)$ .

$f (x + h) = \frac{- (x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Paso 2.1.2.3.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.3.6.1

Reescribe $- (x + h + 1)$ como $- 1 (x + h + 1)$ .

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Paso 2.1.2.3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (x + h) = - \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Paso 2.1.2.4

La respuesta final es $- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$ .

$- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = - \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

$f (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$

$f (x + h) = - \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

$f (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} - (- \frac{(x + 1) (x - 3)}{x})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Multiplica $- - \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} + 1 (\frac{(x + 1) (x - 3)}{x})}{h}$

Paso 4.1.1.2

Multiplica $\frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}}{h}$

Paso 4.1.3

Para escribir $\frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Paso 4.1.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + h) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.1

Multiplica $\frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$ por $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3) x}{(x + h) x} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Paso 4.1.4.2

Multiplica $\frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3) x}{(x + h) x} + \frac{(x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.4.3

Reordena los factores de $(x + h) x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3) x}{x (x + h)} + \frac{(x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (x + h + 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6

Reescribe $\frac{- (x + h + 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}$ en forma factorizada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x - h - 1 \cdot 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x - h - 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.3

Expande $(- x - h - 1) (x + h - 3)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x \cdot x - x h - x \cdot - 3 - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.4.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.4.1.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- (x \cdot x) - x h - x \cdot - 3 - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.4.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h - x \cdot - 3 - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.4.2

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.4.3

Multiplica $h$ por $h$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.4.3.1

Mueve $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - (h \cdot h) - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.4.3.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.4.4

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.4.5

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.4.6

Reescribe $- 1 h$ como $- h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - x - h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.4.7

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - x - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.5

Resta $h x$ de $- x h$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.5.1

Mueve $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h - 1 x h + 3 x - h^{2} + 3 h - x - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.5.2

Resta $x h$ de $- x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - 2 x h + 3 x - h^{2} + 3 h - x - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.6

Resta $x$ de $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - 2 x h + 2 x - h^{2} + 3 h - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.7

Resta $h$ de $3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - 2 x h + 2 x - h^{2} + 2 h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.8

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} x - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.9.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.9.1.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (x \cdot x^{2}) - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.9.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.9.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (x \cdot x^{2}) - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.9.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{1 + 2} - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.9.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.9.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.9.2.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 (x \cdot x) h + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.9.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.9.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.9.3.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 (x \cdot x) - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.9.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.10

Expande $(x + 1) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x (x - 3) + 1 (x - 3)) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 (x - 3)) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.11

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.11.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.11.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.11.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 3 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.11.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.11.1.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 3 x + x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.11.2

Suma $- 3 x$ y $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 2 x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.12

Expande $(x^{2} - 2 x - 3) (x + h)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2} x + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.13

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.13.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.13.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.13.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2} x + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.13.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2 + 1} + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.13.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{3} + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.13.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.13.2.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{3} + x^{2} h - 2 (x \cdot x) - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.13.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{3} + x^{2} h - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.14

Suma $- x^{3}$ y $x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + 0 + x^{2} h - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.15

Suma $- 2 x^{2} h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2} h - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.16

Suma $- 2 x^{2} h$ y $x^{2} h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.17

Resta $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 2 h x + 3 x + 0 - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.18

Suma $- x^{2} h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 2 h x + 3 x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.19

Resta $2 x h$ de $2 h x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.19.1

Mueve $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 3 x + 2 x h - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.19.2

Resta $2 x h$ de $2 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 3 x + 0 - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.20

Suma $- x^{2} h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 3 x - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.21

Resta $3 x$ de $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 0 - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.22

Suma $- x^{2} h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.23

Factoriza $h$ de $- x^{2} h - h^{2} x - 3 h$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.23.1

Factoriza $h$ de $- x^{2} h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2}) - h^{2} x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.23.2

Factoriza $h$ de $- h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2}) + h (- h x) - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.23.3

Factoriza $h$ de $- 3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2}) + h (- h x) + h \cdot - 3}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.23.4

Factoriza $h$ de $h (- x^{2}) + h (- h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2} - h x) + h \cdot - 3}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.23.5

Factoriza $h$ de $h (- x^{2} - h x) + h \cdot - 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2} - h x - 3)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- x^{2} - h x - 3)}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Combinar.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- x^{2} - h x - 3) \cdot 1}{x (x + h) h}$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $h$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- x^{2} - h x - 3) \cdot 1}{x (x + h) h}$

Paso 4.4.2

Reescribe la expresión.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(- x^{2} - h x - 3) \cdot 1}{x (x + h)}$

Paso 4.5

Multiplica $- x^{2} - h x - 3$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- x^{2} - h x - 3}{x (x + h)}$

Paso 4.6

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2}) - h x - 3}{x (x + h)}$

Paso 4.7

Factoriza $- 1$ de $- h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2}) - (h x) - 3}{x (x + h)}$

Paso 4.8

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2} + h x) - 3}{x (x + h)}$

Paso 4.9

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2} + h x) - 1 \cdot 3}{x (x + h)}$

Paso 4.10

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} + h x) - 1 (3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2} + h x + 3)}{x (x + h)}$

Paso 4.11

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.11.1

Reescribe $- (x^{2} + h x + 3)$ como $- 1 (x^{2} + h x + 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1 (x^{2} + h x + 3)}{x (x + h)}$

Paso 4.11.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{x^{2} + h x + 3}{x (x + h)}$

Paso 5

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + h x + 3}{x (x + h)}$

Paso 6

Mueve el término $\frac{1}{x}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- \frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + h x + 3}{x + h}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} + h x + 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} h x + lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Paso 9

Evalúa el límite de $x^{2}$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + lim_{h \to 0} h x + lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Paso 10

Mueve el término $x$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Paso 11

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Paso 12

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + 3}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

Paso 13

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + 3}{x + lim_{h \to 0} h}$

Paso 14

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $h$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x \cdot 0 + 3}{x + lim_{h \to 0} h}$

Paso 14.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x \cdot 0 + 3}{x + 0}$

Paso 15

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1.1

Multiplica $x$ por $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 0 + 3}{x + 0}$

Paso 15.1.2

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 3}{x + 0}$

Paso 15.2

Suma $x$ y $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 3}{x}$

Paso 15.3

Multiplica $- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 3}{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.3.1

Multiplica $\frac{x^{2} + 3}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x^{2} + 3}{x \cdot x}$

Paso 15.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{1} x}$

Paso 15.3.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{1} x^{1}}$

Paso 15.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{1 + 1}}$

Paso 15.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{2}}$

Paso 16