Cálculo Ejemplos

$g (x) = \frac{x}{x - 1}$

Paso 1

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) - 1}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h - 1}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $\frac{x + h}{x + h - 1}$ .

$\frac{x + h}{x + h - 1}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h - 1}$

$f (x) = \frac{x}{x - 1}$

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h - 1}$

$f (x) = \frac{x}{x - 1}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h - 1} - (\frac{x}{x - 1})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Para escribir $\frac{x + h}{x + h - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x}{x - 1}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{x}{x - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Paso 4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + h - 1) (x - 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{x + h}{x + h - 1}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $\frac{x}{x - 1}$ por $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{x (x + h - 1)}{(x - 1) (x + h - 1)}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Reordena los factores de $(x - 1) (x + h - 1)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x - 1) - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\frac{(x + h) (x - 1) - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.5.1

Expande $(x + h) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x (x - 1) + h (x - 1) - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + h (x - 1) - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.5.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - 1 \cdot x + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - x + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.4

Mueve $- 1$ a la izquierda de $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - x + h x - 1 \cdot h - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.5

Reescribe $- 1 h$ como $- h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - x + h x - h - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - x + h x - h - x \cdot x - x h - x \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.4

Simplifica.

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Paso 4.1.5.4.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.5.4.1.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - x + h x - h - (x \cdot x) - x h - x \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.4.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - x + h x - h - x^{2} - x h - x \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.4.2

Multiplica $- x \cdot - 1$ .

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Paso 4.1.5.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - x + h x - h - x^{2} - x h + 1 x}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.4.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - x + h x - h - x^{2} - x h + x}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.5

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x + h x - h + 0 - x h + x}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.6

Suma $- x$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x + h x - h - x h + x}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.7

Suma $- x$ y $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x - h - x h + 0}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.8

Suma $h x - h - x h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x - h - x h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.9

Resta $x h$ de $h x$ .

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Paso 4.1.5.9.1

Reordena $h$ y $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h + x h - x h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.9.2

Resta $x h$ de $x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h + 0}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.10

Suma $- h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)}$ al numerador.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.2

Factoriza $h$ de $- h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.4

Reescribe la expresión.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Paso 4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Paso 5.2

Mueve el término $\frac{1}{x - 1}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- \frac{1}{x - 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h - 1}$

Paso 5.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h - 1}$

Paso 5.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h - 1}$

Paso 5.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 1}$

Paso 5.6

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 1}$

Paso 5.7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 1}$

Paso 6

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x + 0 - 1 \cdot 1}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Simplifica el denominador.

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Paso 7.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x + 0 - 1}$

Paso 7.1.2

Suma $x$ y $0$ .

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Paso 7.2

Multiplica $- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x - 1}$ .

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Paso 7.2.1

Multiplica $\frac{1}{x - 1}$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$- \frac{1}{(x - 1) (x - 1)}$

Paso 7.2.2

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{1} (x - 1)}$

Paso 7.2.3

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1}}$

Paso 7.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{1 + 1}}$

Paso 7.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 8