Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x - 1}{x + 1}$

Paso 1

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{(x + h) - 1}{(x + h) + 1}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = \frac{x + h - 1}{x + h + 1}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $\frac{x + h - 1}{x + h + 1}$ .

$\frac{x + h - 1}{x + h + 1}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{x + h - 1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{x + h - 1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h - 1}{x + h + 1} - (\frac{x - 1}{x + 1})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Para escribir $\frac{x + h - 1}{x + h + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h - 1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x - 1}{x + 1}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{x - 1}{x + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h - 1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Paso 4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + h + 1) (x + 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{x + h - 1}{x + h + 1}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h - 1) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $\frac{x - 1}{x + 1}$ por $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h - 1) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{(x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Reordena los factores de $(x + h + 1) (x + 1)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h - 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{(x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h - 1) (x + 1) - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\frac{(x + h - 1) (x + 1) - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.5.1

Expande $(x + h - 1) (x + 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1 - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.2

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1$ .

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Paso 4.1.5.2.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot 1$ y $- 1 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + 1 x + h x + h \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1 - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.2

Resta $1 x$ de $1 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + h x + h \cdot 1 + 0 - 1 \cdot 1 - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.3

Suma $x \cdot x + h x + h \cdot 1$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + h x + h \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.5.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.3.2

Multiplica $h$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 \cdot 1 - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 + (- x + 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 + (- x + 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.6

Expande $(- x + 1) (x + h + 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x \cdot x - x h - x \cdot 1 + 1 x + 1 h + 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.7

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.5.7.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.5.7.1.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - (x \cdot x) - x h - x \cdot 1 + 1 x + 1 h + 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.7.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x^{2} - x h - x \cdot 1 + 1 x + 1 h + 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.7.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x^{2} - x h - x + 1 x + 1 h + 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.7.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x^{2} - x h - x + x + 1 h + 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.7.4

Multiplica $h$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x^{2} - x h - x + x + h + 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.7.5

Multiplica $1$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x^{2} - x h - x + x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.8

Combina los términos opuestos en $- x^{2} - x h - x + x + h + 1$ .

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Paso 4.1.5.8.1

Suma $- x$ y $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x^{2} - x h + 0 + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.8.2

Suma $- x^{2} - x h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x^{2} - x h + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.9

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x + h - 1 + 0 - x h + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.10

Suma $h x$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x + h - 1 - x h + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.11

Resta $x h$ de $h x$ .

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Paso 4.1.5.11.1

Reordena $h$ y $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h - 1 + x h - x h + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.11.2

Resta $x h$ de $x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h - 1 + 0 + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.12

Suma $h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h - 1 + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.13

Suma $h$ y $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 h - 1 + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.14

Suma $- 1$ y $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.15

Suma $2 h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $h$ de $2 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot 2}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot 2}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Mueve el término $\frac{2}{x + 1}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{2}{x + 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 1}$

Paso 5.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Paso 5.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Paso 5.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Paso 5.5

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Paso 5.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 1}$

Paso 6

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 0 + 1}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Paso 7.2

Multiplica $\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$ .

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Paso 7.2.1

Multiplica $\frac{2}{x + 1}$ por $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{2}{(x + 1) (x + 1)}$

Paso 7.2.2

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

Paso 7.2.3

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

Paso 7.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

Paso 7.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 8