Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} + 5 x^{3}$

Paso 1

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 5 {(x + h)}^{3}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) + 5 {(x + h)}^{3}$

Paso 2.1.2.1.2

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 5 {(x + h)}^{3}$

Paso 2.1.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 5 {(x + h)}^{3}$

Paso 2.1.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 5 {(x + h)}^{3}$

Paso 2.1.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 5 {(x + h)}^{3}$

Paso 2.1.2.1.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 5 {(x + h)}^{3}$

Paso 2.1.2.1.3.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 2.1.2.1.3.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 5 {(x + h)}^{3}$

Paso 2.1.2.1.3.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 {(x + h)}^{3}$

Paso 2.1.2.1.4

Usa el teorema del binomio.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

Paso 2.1.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 5 (3 x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3}$

Paso 2.1.2.1.6

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1.6.1

Multiplica $3$ por $5$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3}$

Paso 2.1.2.1.6.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 15 (x h^{2}) + 5 h^{3}$

Paso 2.1.2.1.7

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3}$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3}$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 x h^{2} + 5 h^{3}$

Paso 2.2.2

Mueve $x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3}$

Paso 2.2.3

Mueve $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + x^{2}$

Paso 2.2.4

Mueve $2 h x$ .

$h^{2} + 5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + 2 h x + x^{2}$

Paso 2.2.5

Mueve $h^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

Paso 2.2.6

Mueve $5 x^{3}$ .

$15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

Paso 2.2.7

Mueve $15 h x^{2}$ .

$15 h^{2} x + 5 h^{3} + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

Paso 2.2.8

Reordena $15 h^{2} x$ y $5 h^{3}$ .

$5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

$f (x) = x^{2} + 5 x^{3}$

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

$f (x) = x^{2} + 5 x^{3}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - (x^{2} + 5 x^{3})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - x^{2} - (5 x^{3})}{h}$

Paso 4.1.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - x^{2} - 5 x^{3}}{h}$

Paso 4.1.3

Resta $5 x^{3}$ de $5 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - x^{2} + 0}{h}$

Paso 4.1.4

Suma $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - x^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - x^{2}}{h}$

Paso 4.1.5

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x + 0}{h}$

Paso 4.1.6

Suma $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x}{h}$

Paso 4.1.7

Factoriza $h$ de $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x$ .

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Paso 4.1.7.1

Factoriza $h$ de $5 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x}{h}$

Paso 4.1.7.2

Factoriza $h$ de $15 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x}{h}$

Paso 4.1.7.3

Factoriza $h$ de $15 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) + h^{2} + 2 h x}{h}$

Paso 4.1.7.4

Factoriza $h$ de $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) + h (h) + 2 h x}{h}$

Paso 4.1.7.5

Factoriza $h$ de $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) + h (h) + h (2 x)}{h}$

Paso 4.1.7.6

Factoriza $h$ de $h (5 h^{2}) + h (15 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2}) + h (h) + h (2 x)}{h}$

Paso 4.1.7.7

Factoriza $h$ de $h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h (h) + h (2 x)}{h}$

Paso 4.1.7.8

Factoriza $h$ de $h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h (h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h) + h (2 x)}{h}$

Paso 4.1.7.9

Factoriza $h$ de $h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h + 2 x)}{h}$

Paso 4.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h + 2 x)}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h + 2 x$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h + 2 x$

Paso 4.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.1

Mueve $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 x h + 15 x^{2} + h + 2 x$

Paso 4.2.2.2

Mueve $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 x h + 15 x^{2} + 2 x + h$

Paso 4.2.2.3

Mueve $5 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x h + 15 x^{2} + 5 h^{2} + 2 x + h$

Paso 4.2.2.4

Reordena $15 x h$ y $15 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2} + 2 x + h$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} + lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Paso 6

Evalúa el límite de $15 x^{2}$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} + lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Paso 7

Mueve el término $15 x$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} + lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Paso 8

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Paso 9

Mueve el exponente $2$ de $h^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Paso 10

Evalúa el límite de $2 x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 2 x + lim_{h \to 0} h$

Paso 11

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $h$ .

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Paso 11.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 2 x + lim_{h \to 0} h$

Paso 11.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} + 2 x + lim_{h \to 0} h$

Paso 11.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} + 2 x + 0$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Suma $15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} + 2 x$ y $0$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} + 2 x$

Paso 12.2

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1

Multiplica $15 x \cdot 0$ .

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Paso 12.2.1.1

Multiplica $0$ por $15$ .

$15 x^{2} + 0 x + 5 \cdot 0^{2} + 2 x$

Paso 12.2.1.2

Multiplica $0$ por $x$ .

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0^{2} + 2 x$

Paso 12.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0 + 2 x$

Paso 12.2.3

Multiplica $5$ por $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 0 + 2 x$

Paso 12.3

Combina los términos opuestos en $15 x^{2} + 0 + 0 + 2 x$ .

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Paso 12.3.1

Suma $15 x^{2}$ y $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 2 x$

Paso 12.3.2

Suma $15 x^{2}$ y $0$ .

$15 x^{2} + 2 x$

Paso 13