Cálculo Ejemplos

$y = - 5 t^{3} + 4 t^{2} - 3 t + 6$

Paso 1

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{f (t + h) - f t}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = t + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $t$ con $t + h$ en la expresión.

$f (t + h) = - 5 {(t + h)}^{3} + 4 {(t + h)}^{2} - 3 (t + h) + 6$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Usa el teorema del binomio.

$f (t + h) = - 5 (t^{3} + 3 t^{2} h + 3 t h^{2} + h^{3}) + 4 {(t + h)}^{2} - 3 (t + h) + 6$

Paso 2.1.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (t + h) = - 5 t^{3} - 5 (3 t^{2} h) - 5 (3 t h^{2}) - 5 h^{3} + 4 {(t + h)}^{2} - 3 (t + h) + 6$

Paso 2.1.2.1.3

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1.3.1

Multiplica $3$ por $- 5$ .

$f (t + h) = - 5 t^{3} - 15 (t^{2} h) - 5 (3 t h^{2}) - 5 h^{3} + 4 {(t + h)}^{2} - 3 (t + h) + 6$

Paso 2.1.2.1.3.2

Multiplica $3$ por $- 5$ .

$f (t + h) = - 5 t^{3} - 15 (t^{2} h) - 15 (t h^{2}) - 5 h^{3} + 4 {(t + h)}^{2} - 3 (t + h) + 6$

Paso 2.1.2.1.4

Elimina los paréntesis.

$f (t + h) = - 5 t^{3} - 15 t^{2} h - 15 t h^{2} - 5 h^{3} + 4 {(t + h)}^{2} - 3 (t + h) + 6$

Paso 2.1.2.1.5

Reescribe ${(t + h)}^{2}$ como $(t + h) (t + h)$ .

$f (t + h) = - 5 t^{3} - 15 t^{2} h - 15 t h^{2} - 5 h^{3} + 4 ((t + h) (t + h)) - 3 (t + h) + 6$

Paso 2.1.2.1.6

Expande $(t + h) (t + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (t + h) = - 5 t^{3} - 15 t^{2} h - 15 t h^{2} - 5 h^{3} + 4 (t (t + h) + h (t + h)) - 3 (t + h) + 6$

Paso 2.1.2.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (t + h) = - 5 t^{3} - 15 t^{2} h - 15 t h^{2} - 5 h^{3} + 4 (t \cdot t + t h + h (t + h)) - 3 (t + h) + 6$

Paso 2.1.2.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (t + h) = - 5 t^{3} - 15 t^{2} h - 15 t h^{2} - 5 h^{3} + 4 (t \cdot t + t h + h t + h \cdot h) - 3 (t + h) + 6$

Paso 2.1.2.1.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.1.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.7.1.1

Multiplica $t$ por $t$ .

$f (t + h) = - 5 t^{3} - 15 t^{2} h - 15 t h^{2} - 5 h^{3} + 4 (t^{2} + t h + h t + h \cdot h) - 3 (t + h) + 6$

Paso 2.1.2.1.7.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (t + h) = - 5 t^{3} - 15 t^{2} h - 15 t h^{2} - 5 h^{3} + 4 (t^{2} + t h + h t + h^{2}) - 3 (t + h) + 6$

Paso 2.1.2.1.7.2

Suma $t h$ y $h t$ .

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Paso 2.1.2.1.7.2.1

Reordena $t$ y $h$ .

$f (t + h) = - 5 t^{3} - 15 t^{2} h - 15 t h^{2} - 5 h^{3} + 4 (t^{2} + h t + h t + h^{2}) - 3 (t + h) + 6$

Paso 2.1.2.1.7.2.2

Suma $h t$ y $h t$ .

$f (t + h) = - 5 t^{3} - 15 t^{2} h - 15 t h^{2} - 5 h^{3} + 4 (t^{2} + 2 h t + h^{2}) - 3 (t + h) + 6$

Paso 2.1.2.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$f (t + h) = - 5 t^{3} - 15 t^{2} h - 15 t h^{2} - 5 h^{3} + 4 t^{2} + 4 (2 h t) + 4 h^{2} - 3 (t + h) + 6$

Paso 2.1.2.1.9

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (t + h) = - 5 t^{3} - 15 t^{2} h - 15 t h^{2} - 5 h^{3} + 4 t^{2} + 8 (h t) + 4 h^{2} - 3 (t + h) + 6$

Paso 2.1.2.1.10

Aplica la propiedad distributiva.

$f (t + h) = - 5 t^{3} - 15 t^{2} h - 15 t h^{2} - 5 h^{3} + 4 t^{2} + 8 h t + 4 h^{2} - 3 t - 3 h + 6$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $- 5 t^{3} - 15 t^{2} h - 15 t h^{2} - 5 h^{3} + 4 t^{2} + 8 h t + 4 h^{2} - 3 t - 3 h + 6$ .

$- 5 t^{3} - 15 t^{2} h - 15 t h^{2} - 5 h^{3} + 4 t^{2} + 8 h t + 4 h^{2} - 3 t - 3 h + 6$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $t^{2}$ .

$- 5 t^{3} - 15 h t^{2} - 15 t h^{2} - 5 h^{3} + 4 t^{2} + 8 h t + 4 h^{2} - 3 t - 3 h + 6$

Paso 2.2.2

Mueve $t$ .

$- 5 t^{3} - 15 h t^{2} - 15 h^{2} t - 5 h^{3} + 4 t^{2} + 8 h t + 4 h^{2} - 3 t - 3 h + 6$

Paso 2.2.3

Mueve $- 3 t$ .

$- 5 t^{3} - 15 h t^{2} - 15 h^{2} t - 5 h^{3} + 4 t^{2} + 8 h t + 4 h^{2} - 3 h - 3 t + 6$

Paso 2.2.4

Mueve $4 t^{2}$ .

$- 5 t^{3} - 15 h t^{2} - 15 h^{2} t - 5 h^{3} + 8 h t + 4 h^{2} + 4 t^{2} - 3 h - 3 t + 6$

Paso 2.2.5

Mueve $8 h t$ .

$- 5 t^{3} - 15 h t^{2} - 15 h^{2} t - 5 h^{3} + 4 h^{2} + 8 h t + 4 t^{2} - 3 h - 3 t + 6$

Paso 2.2.6

Mueve $- 5 t^{3}$ .

$- 15 h t^{2} - 15 h^{2} t - 5 h^{3} - 5 t^{3} + 4 h^{2} + 8 h t + 4 t^{2} - 3 h - 3 t + 6$

Paso 2.2.7

Mueve $- 15 h t^{2}$ .

$- 15 h^{2} t - 5 h^{3} - 15 h t^{2} - 5 t^{3} + 4 h^{2} + 8 h t + 4 t^{2} - 3 h - 3 t + 6$

Paso 2.2.8

Reordena $- 15 h^{2} t$ y $- 5 h^{3}$ .

$- 5 h^{3} - 15 h^{2} t - 15 h t^{2} - 5 t^{3} + 4 h^{2} + 8 h t + 4 t^{2} - 3 h - 3 t + 6$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (t + h) = - 5 h^{3} - 15 h^{2} t - 15 h t^{2} - 5 t^{3} + 4 h^{2} + 8 h t + 4 t^{2} - 3 h - 3 t + 6$

$f (t) = - 5 t^{3} + 4 t^{2} - 3 t + 6$

$f (t + h) = - 5 h^{3} - 15 h^{2} t - 15 h t^{2} - 5 t^{3} + 4 h^{2} + 8 h t + 4 t^{2} - 3 h - 3 t + 6$

$f (t) = - 5 t^{3} + 4 t^{2} - 3 t + 6$

Paso 3

Inserta los componentes.

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{- 5 h^{3} - 15 h^{2} t - 15 h t^{2} - 5 t^{3} + 4 h^{2} + 8 h t + 4 t^{2} - 3 h - 3 t + 6 - (- 5 t^{3} + 4 t^{2} - 3 t + 6)}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{- 5 h^{3} - 15 h^{2} t - 15 h t^{2} - 5 t^{3} + 4 h^{2} + 8 h t + 4 t^{2} - 3 h - 3 t + 6 - (- 5 t^{3}) - (4 t^{2}) - (- 3 t) - 1 \cdot 6}{h}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{- 5 h^{3} - 15 h^{2} t - 15 h t^{2} - 5 t^{3} + 4 h^{2} + 8 h t + 4 t^{2} - 3 h - 3 t + 6 + 5 t^{3} - (4 t^{2}) - (- 3 t) - 1 \cdot 6}{h}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{- 5 h^{3} - 15 h^{2} t - 15 h t^{2} - 5 t^{3} + 4 h^{2} + 8 h t + 4 t^{2} - 3 h - 3 t + 6 + 5 t^{3} - 4 t^{2} - (- 3 t) - 1 \cdot 6}{h}$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{- 5 h^{3} - 15 h^{2} t - 15 h t^{2} - 5 t^{3} + 4 h^{2} + 8 h t + 4 t^{2} - 3 h - 3 t + 6 + 5 t^{3} - 4 t^{2} + 3 t - 1 \cdot 6}{h}$

Paso 4.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{- 5 h^{3} - 15 h^{2} t - 15 h t^{2} - 5 t^{3} + 4 h^{2} + 8 h t + 4 t^{2} - 3 h - 3 t + 6 + 5 t^{3} - 4 t^{2} + 3 t - 6}{h}$

Paso 4.1.3

Suma $- 5 t^{3}$ y $5 t^{3}$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{- 5 h^{3} - 15 h^{2} t - 15 h t^{2} + 4 h^{2} + 8 h t + 4 t^{2} - 3 h - 3 t + 6 + 0 - 4 t^{2} + 3 t - 6}{h}$

Paso 4.1.4

Suma $- 5 h^{3}$ y $0$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{- 5 h^{3} - 15 h^{2} t - 15 h t^{2} + 4 h^{2} + 8 h t + 4 t^{2} - 3 h - 3 t + 6 - 4 t^{2} + 3 t - 6}{h}$

Paso 4.1.5

Resta $4 t^{2}$ de $4 t^{2}$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{- 5 h^{3} - 15 h^{2} t - 15 h t^{2} + 4 h^{2} + 8 h t - 3 h - 3 t + 6 + 0 + 3 t - 6}{h}$

Paso 4.1.6

Suma $- 5 h^{3}$ y $0$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{- 5 h^{3} - 15 h^{2} t - 15 h t^{2} + 4 h^{2} + 8 h t - 3 h - 3 t + 6 + 3 t - 6}{h}$

Paso 4.1.7

Suma $- 3 t$ y $3 t$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{- 5 h^{3} - 15 h^{2} t - 15 h t^{2} + 4 h^{2} + 8 h t - 3 h + 0 + 6 - 6}{h}$

Paso 4.1.8

Suma $- 5 h^{3}$ y $0$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{- 5 h^{3} - 15 h^{2} t - 15 h t^{2} + 4 h^{2} + 8 h t - 3 h + 6 - 6}{h}$

Paso 4.1.9

Resta $6$ de $6$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{- 5 h^{3} - 15 h^{2} t - 15 h t^{2} + 4 h^{2} + 8 h t - 3 h + 0}{h}$

Paso 4.1.10

Suma $- 5 h^{3} - 15 h^{2} t - 15 h t^{2} + 4 h^{2} + 8 h t - 3 h$ y $0$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{- 5 h^{3} - 15 h^{2} t - 15 h t^{2} + 4 h^{2} + 8 h t - 3 h}{h}$

Paso 4.1.11

Factoriza $h$ de $- 5 h^{3} - 15 h^{2} t - 15 h t^{2} + 4 h^{2} + 8 h t - 3 h$ .

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Paso 4.1.11.1

Factoriza $h$ de $- 5 h^{3}$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 5 h^{2}) - 15 h^{2} t - 15 h t^{2} + 4 h^{2} + 8 h t - 3 h}{h}$

Paso 4.1.11.2

Factoriza $h$ de $- 15 h^{2} t$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 5 h^{2}) + h (- 15 h t) - 15 h t^{2} + 4 h^{2} + 8 h t - 3 h}{h}$

Paso 4.1.11.3

Factoriza $h$ de $- 15 h t^{2}$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 5 h^{2}) + h (- 15 h t) + h (- 15 t^{2}) + 4 h^{2} + 8 h t - 3 h}{h}$

Paso 4.1.11.4

Factoriza $h$ de $4 h^{2}$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 5 h^{2}) + h (- 15 h t) + h (- 15 t^{2}) + h (4 h) + 8 h t - 3 h}{h}$

Paso 4.1.11.5

Factoriza $h$ de $8 h t$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 5 h^{2}) + h (- 15 h t) + h (- 15 t^{2}) + h (4 h) + h (8 t) - 3 h}{h}$

Paso 4.1.11.6

Factoriza $h$ de $- 3 h$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 5 h^{2}) + h (- 15 h t) + h (- 15 t^{2}) + h (4 h) + h (8 t) + h \cdot - 3}{h}$

Paso 4.1.11.7

Factoriza $h$ de $h (- 5 h^{2}) + h (- 15 h t)$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 5 h^{2} - 15 h t) + h (- 15 t^{2}) + h (4 h) + h (8 t) + h \cdot - 3}{h}$

Paso 4.1.11.8

Factoriza $h$ de $h (- 5 h^{2} - 15 h t) + h (- 15 t^{2})$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 5 h^{2} - 15 h t - 15 t^{2}) + h (4 h) + h (8 t) + h \cdot - 3}{h}$

Paso 4.1.11.9

Factoriza $h$ de $h (- 5 h^{2} - 15 h t - 15 t^{2}) + h (4 h)$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 5 h^{2} - 15 h t - 15 t^{2} + 4 h) + h (8 t) + h \cdot - 3}{h}$

Paso 4.1.11.10

Factoriza $h$ de $h (- 5 h^{2} - 15 h t - 15 t^{2} + 4 h) + h (8 t)$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 5 h^{2} - 15 h t - 15 t^{2} + 4 h + 8 t) + h \cdot - 3}{h}$

Paso 4.1.11.11

Factoriza $h$ de $h (- 5 h^{2} - 15 h t - 15 t^{2} + 4 h + 8 t) + h \cdot - 3$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 5 h^{2} - 15 h t - 15 t^{2} + 4 h + 8 t - 3)}{h}$

Paso 4.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 5 h^{2} - 15 h t - 15 t^{2} + 4 h + 8 t - 3)}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $- 5 h^{2} - 15 h t - 15 t^{2} + 4 h + 8 t - 3$ por $1$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} - 5 h^{2} - 15 h t - 15 t^{2} + 4 h + 8 t - 3$

Paso 4.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.1

Mueve $h$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} - 5 h^{2} - 15 t h - 15 t^{2} + 4 h + 8 t - 3$

Paso 4.2.2.2

Mueve $4 h$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} - 5 h^{2} - 15 t h - 15 t^{2} + 8 t + 4 h - 3$

Paso 4.2.2.3

Mueve $- 5 h^{2}$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} - 15 t h - 15 t^{2} - 5 h^{2} + 8 t + 4 h - 3$

Paso 4.2.2.4

Reordena $- 15 t h$ y $- 15 t^{2}$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} - 15 t^{2} - 15 t h - 5 h^{2} + 8 t + 4 h - 3$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$- lim_{h \to 0} 15 t^{2} - lim_{h \to 0} 15 t h - lim_{h \to 0} 5 h^{2} + lim_{h \to 0} 8 t + lim_{h \to 0} 4 h - lim_{h \to 0} 3$

Paso 6

Evalúa el límite de $15 t^{2}$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- 15 t^{2} - lim_{h \to 0} 15 t h - lim_{h \to 0} 5 h^{2} + lim_{h \to 0} 8 t + lim_{h \to 0} 4 h - lim_{h \to 0} 3$

Paso 7

Mueve el término $15 t$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- 15 t^{2} - 1 \cdot 15 t lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5 h^{2} + lim_{h \to 0} 8 t + lim_{h \to 0} 4 h - lim_{h \to 0} 3$

Paso 8

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- 15 t^{2} - 1 \cdot 15 t lim_{h \to 0} h - 5 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 8 t + lim_{h \to 0} 4 h - lim_{h \to 0} 3$

Paso 9

Mueve el exponente $2$ de $h^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$- 15 t^{2} - 1 \cdot 15 t lim_{h \to 0} h - 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 8 t + lim_{h \to 0} 4 h - lim_{h \to 0} 3$

Paso 10

Evalúa el límite de $8 t$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- 15 t^{2} - 1 \cdot 15 t lim_{h \to 0} h - 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 8 t + lim_{h \to 0} 4 h - lim_{h \to 0} 3$

Paso 11

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- 15 t^{2} - 1 \cdot 15 t lim_{h \to 0} h - 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 8 t + 4 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 3$

Paso 12

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- 15 t^{2} - 1 \cdot 15 t lim_{h \to 0} h - 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 8 t + 4 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 3$

Paso 13

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $h$ .

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Paso 13.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$- 15 t^{2} - 1 \cdot 15 t \cdot 0 - 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 8 t + 4 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 3$

Paso 13.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$- 15 t^{2} - 1 \cdot 15 t \cdot 0 - 5 \cdot 0^{2} + 8 t + 4 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 3$

Paso 13.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$- 15 t^{2} - 1 \cdot 15 t \cdot 0 - 5 \cdot 0^{2} + 8 t + 4 \cdot 0 - 1 \cdot 3$

Paso 14

Simplifica la respuesta.

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Paso 14.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.1.1

Multiplica $- 1$ por $15$ .

$- 15 t^{2} - 15 t \cdot 0 - 5 \cdot 0^{2} + 8 t + 4 \cdot 0 - 1 \cdot 3$

Paso 14.1.2

Multiplica $- 15 t \cdot 0$ .

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Paso 14.1.2.1

Multiplica $0$ por $- 15$ .

$- 15 t^{2} + 0 t - 5 \cdot 0^{2} + 8 t + 4 \cdot 0 - 1 \cdot 3$

Paso 14.1.2.2

Multiplica $0$ por $t$ .

$- 15 t^{2} + 0 - 5 \cdot 0^{2} + 8 t + 4 \cdot 0 - 1 \cdot 3$

Paso 14.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 15 t^{2} + 0 - 5 \cdot 0 + 8 t + 4 \cdot 0 - 1 \cdot 3$

Paso 14.1.4

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$- 15 t^{2} + 0 + 0 + 8 t + 4 \cdot 0 - 1 \cdot 3$

Paso 14.1.5

Multiplica $4$ por $0$ .

$- 15 t^{2} + 0 + 0 + 8 t + 0 - 1 \cdot 3$

Paso 14.1.6

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 15 t^{2} + 0 + 0 + 8 t + 0 - 3$

Paso 14.2

Combina los términos opuestos en $- 15 t^{2} + 0 + 0 + 8 t + 0 - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1

Suma $- 15 t^{2}$ y $0$ .

$- 15 t^{2} + 0 + 8 t + 0 - 3$

Paso 14.2.2

Suma $- 15 t^{2}$ y $0$ .

$- 15 t^{2} + 8 t + 0 - 3$

Paso 14.2.3

Suma $- 15 t^{2} + 8 t$ y $0$ .

$- 15 t^{2} + 8 t - 3$

Paso 15