Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 3 x^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 3 x^{2}}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 1 + 3 x^{2}$ .

$6 \frac{(1 + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \frac{(1 + 3 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2

Multiplica $1 + 3 x^{2}$ por $1$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x \frac{d}{d x} [3 x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.6

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.7

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 3 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 3 x (2 x)}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.9

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 x \cdot x}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 (x^{1} x)}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 (x^{1} x^{1})}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 x^{1 + 1}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.1.7

Suma $1$ y $1$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 x^{2}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.1.8

Resta $6 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$6 \frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.1.9

Combina $6$ y $\frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{6 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.1.10

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- 3 x^{2})}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.1.10.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.10.2.1

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{6 + 6 (- 3 x^{2})}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.1.10.2.2

Multiplica $- 3$ por $6$ .

$\frac{6 - 18 x^{2}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.1.10.3

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{- 18 x^{2} + 6}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [- 18 x^{2} + 6] - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(3 x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [- 18 x^{2} + 6] - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [- 18 x^{2} + 6] - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- 18 x^{2} + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.2.3

Como $- 18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 18 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [6]) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.2.5

Multiplica $2$ por $- 18$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x + \frac{d}{d x} [6]) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.2.6

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x + 0) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.2.7

Suma $- 36 x$ y $0$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 3 x^{2} + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x^{2} + 1$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} + 6) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} + 6) (2 u \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{2} + 1$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} + 6) (2 (3 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.5

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (6 x + 0))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.7

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.4.7.1

Suma $6 x$ y $0$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (6 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.7.2

Mueve $6$ a la izquierda de $3 x^{2} + 1$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) (6 \cdot (3 x^{2} + 1) x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.7.3

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 12 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) ((3 x^{2} + 1) x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- 36 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.2

Reescribe ${(3 x^{2} + 1)}^{2}$ como $(3 x^{2} + 1) (3 x^{2} + 1)$ .

$\frac{- 36 ((3 x^{2} + 1) (3 x^{2} + 1)) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.3

Expande $(3 x^{2} + 1) (3 x^{2} + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 36 (3 x^{2} (3 x^{2} + 1) + 1 (3 x^{2} + 1)) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 36 (3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2} + 1)) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 36 (3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- 36 (3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.4.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.4.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{- 36 (3 \cdot 3 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 36 (3 \cdot 3 x^{2 + 2} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.4.1.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{- 36 (3 \cdot 3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.4.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.4.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 3 x^{2} + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.4.1.5

Multiplica $3 x^{2}$ por $1$ .

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.4.1.6

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.4.2

Suma $3 x^{2}$ y $3 x^{2}$ .

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 6 x^{2} + 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(- 36 (9 x^{4}) - 36 (6 x^{2}) - 36 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.6.1

Multiplica $9$ por $- 36$ .

$\frac{(- 324 x^{4} - 36 (6 x^{2}) - 36 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.6.2

Multiplica $6$ por $- 36$ .

$\frac{(- 324 x^{4} - 216 x^{2} - 36 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.6.3

Multiplica $- 36$ por $1$ .

$\frac{(- 324 x^{4} - 216 x^{2} - 36) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 324 x^{4} x - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.8.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.8.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{- 324 (x \cdot x^{4}) - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.8.1.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 324 (x^{1} x^{4}) - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 324 x^{1 + 4} - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.8.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.8.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.8.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 (x \cdot x^{2}) - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.8.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 (x^{1} x^{2}) - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{1 + 2} - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.8.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.9

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.9.1

Multiplica $- 18$ por $- 12$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.9.2

Multiplica $- 12$ por $6$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.10

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.10.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.10.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 (x \cdot x^{2}) + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.10.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.10.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 (x^{1} x^{2}) + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.10.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 x^{1 + 2} + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.10.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 x^{3} + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.10.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 x^{3} + x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.11

Expande $(216 x^{2} - 72) (3 x^{3} + x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 x^{2} (3 x^{3} + x) - 72 (3 x^{3} + x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 x^{2} (3 x^{3}) + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3} + x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 x^{2} (3 x^{3}) + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.12

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.12.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.12.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 \cdot 3 x^{2} x^{3} + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.12.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.12.1.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 \cdot 3 (x^{3} x^{2}) + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.12.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 \cdot 3 x^{3 + 2} + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.12.1.2.3

Suma $3$ y $2$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 \cdot 3 x^{5} + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.12.1.3

Multiplica $216$ por $3$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.12.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.12.1.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 (x \cdot x^{2}) - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.12.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.12.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 (x^{1} x^{2}) - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.12.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 x^{1 + 2} - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.12.1.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 x^{3} - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.12.1.5

Multiplica $3$ por $- 72$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 x^{3} - 216 x^{3} - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.12.2

Resta $216 x^{3}$ de $216 x^{3}$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 0 - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.12.3

Suma $648 x^{5}$ y $0$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.2

Suma $- 324 x^{5}$ y $648 x^{5}$ .

$\frac{324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.3

Resta $72 x$ de $- 36 x$ .

$\frac{324 x^{5} - 216 x^{3} - 108 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.4.1

Factoriza $108 x$ de $324 x^{5} - 216 x^{3} - 108 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.4.1.1

Factoriza $108 x$ de $324 x^{5}$ .

$\frac{108 x (3 x^{4}) - 216 x^{3} - 108 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.4.1.2

Factoriza $108 x$ de $- 216 x^{3}$ .

$\frac{108 x (3 x^{4}) + 108 x (- 2 x^{2}) - 108 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.4.1.3

Factoriza $108 x$ de $- 108 x$ .

$\frac{108 x (3 x^{4}) + 108 x (- 2 x^{2}) + 108 x (- 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.4.1.4

Factoriza $108 x$ de $108 x (3 x^{4}) + 108 x (- 2 x^{2})$ .

$\frac{108 x (3 x^{4} - 2 x^{2}) + 108 x (- 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.4.1.5

Factoriza $108 x$ de $108 x (3 x^{4} - 2 x^{2}) + 108 x (- 1)$ .

$\frac{108 x (3 x^{4} - 2 x^{2} - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.4.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{108 x (3 {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.4.3

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$\frac{108 x (3 u^{2} - 2 u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.4.4

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.4.4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ y cuya suma es $b = - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.4.4.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 u$ .

$\frac{108 x (3 u^{2} - 2 (u) - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.4.4.1.2

Reescribe $- 2$ como $1$ más $- 3$

$\frac{108 x (3 u^{2} + (1 - 3) u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.4.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{108 x (3 u^{2} + 1 u - 3 u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.4.4.1.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$\frac{108 x (3 u^{2} + u - 3 u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.4.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.4.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{108 x ((3 u^{2} + u) - 3 u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.4.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{108 x (u (3 u + 1) - (3 u + 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.4.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 u + 1$ .

$\frac{108 x ((3 u + 1) (u - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.4.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{108 x ((3 x^{2} + 1) (x^{2} - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.4.6

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{108 x ((3 x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.4.7

Factoriza.

$\frac{108 x (3 x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.5

Cancela el factor común de $3 x^{2} + 1$ y ${(3 x^{2} + 1)}^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.5.1

Factoriza $3 x^{2} + 1$ de $108 x (3 x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(3 x^{2} + 1) ((108 x (x + 1)) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.5.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.5.2.1

Factoriza $3 x^{2} + 1$ de ${(3 x^{2} + 1)}^{4}$ .

$\frac{(3 x^{2} + 1) ((108 x (x + 1)) (x - 1))}{(3 x^{2} + 1) {(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.5.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(3 x^{2} + 1) ((108 x (x + 1)) (x - 1))}{(3 x^{2} + 1) {(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.5.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{(108 x (x + 1)) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$108 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 1.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 1.2.3.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.3.3

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.3.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 1.2.3.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 1.2.3.4

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.4.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 1.2.3.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 1.2.3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $108 x (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 1, 1$

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece el denominador en $\frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$1 + 3 x^{2} = 0$

Paso 2.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} = - 1$

Paso 2.2.2

Divide cada término en $3 x^{2} = - 1$ por $3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Divide cada término en $3 x^{2} = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 2.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

Paso 2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Paso 2.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Paso 2.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.1

Reescribe $- \frac{1}{3}$ como $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.1.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Paso 2.2.4.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Paso 2.2.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Paso 2.2.4.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Paso 2.2.4.4

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.2.4.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 2.2.4.6

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Paso 2.2.4.7

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.7.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 2.2.4.7.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 2.2.4.7.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 2.2.4.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 2.2.4.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 2.2.4.7.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.2.4.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.4.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.4.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.4.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 2.2.4.7.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 2.2.4.8

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3

El dominio son todos números reales.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f'' (- 4) = \frac{108 (- 4) ((- 4) + 1) ((- 4) - 1)}{{(3 {(- 4)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Multiplica $108$ por $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{{(3 {(- 4)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 4.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{{(3 \cdot 16 + 1)}^{3}}$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $3$ por $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{{(48 + 1)}^{3}}$

Paso 4.2.2.3

Suma $48$ y $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{49^{3}}$

Paso 4.2.2.4

Eleva $49$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{117649}$

Paso 4.2.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1

Suma $- 4$ y $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 432 \cdot (- 3 (- 4 - 1))}{117649}$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $- 432$ por $- 3$ .

$f'' (- 4) = \frac{1296 (- 4 - 1)}{117649}$

Paso 4.2.3.3

Resta $1$ de $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{1296 \cdot - 5}{117649}$

Paso 4.2.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.1

Multiplica $1296$ por $- 5$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 6480}{117649}$

Paso 4.2.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 4) = - \frac{6480}{117649}$

Paso 4.2.5

La respuesta final es $- \frac{6480}{117649}$ .

$- \frac{6480}{117649}$

Paso 4.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, - 1)$ porque $f'' (- 4)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, - 1)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 1, 0)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.5$ en la expresión.

$f'' (- 0.5) = \frac{108 (- 0.5) ((- 0.5) + 1) ((- 0.5) - 1)}{{(3 {(- 0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Multiplica $108$ por $- 0.5$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 54 (- 0.5 + 1) (- 0.5 - 1)}{{(3 {(- 0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 54$ por $- 0.5 + 1$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 27 (- 0.5 - 1)}{{(3 {(- 0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 27$ por $- 0.5 - 1$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{{(3 {(- 0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Eleva $- 0.5$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{{(3 \cdot 0.25 + 1)}^{3}}$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $3$ por $0.25$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

Paso 5.2.2.3

Suma $0.75$ y $1$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{{1.75}^{3}}$

Paso 5.2.2.4

Eleva $1.75$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{5.359375}$

Paso 5.2.3

Divide $40.5$ por $5.359375$ .

$f'' (- 0.5) = 7.55685131$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $7.55685131$ .

$7.55685131$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- 1, 0)$ porque $f'' (- 0.5)$ es positiva.

Convexo en $(- 1, 0)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(0, 1)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.5$ en la expresión.

$f'' (0.5) = \frac{108 (0.5) ((0.5) + 1) ((0.5) - 1)}{{(3 {(0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Multiplica $108$ por $0.5$ .

$f'' (0.5) = \frac{54 (0.5 + 1) (0.5 - 1)}{{(3 \cdot {0.5}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $54$ por $0.5 + 1$ .

$f'' (0.5) = \frac{81 (0.5 - 1)}{{(3 \cdot {0.5}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $81$ por $0.5 - 1$ .

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{{(3 \cdot {0.5}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Eleva $0.5$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{{(3 \cdot 0.25 + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $3$ por $0.25$ .

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.2.3

Suma $0.75$ y $1$ .

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{{1.75}^{3}}$

Paso 6.2.2.4

Eleva $1.75$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{5.359375}$

Paso 6.2.3

Divide $- 40.5$ por $5.359375$ .

$f'' (0.5) = - 7.55685131$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- 7.55685131$ .

$- 7.55685131$

Paso 6.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(0, 1)$ porque $f'' (0.5)$ es negativa.

Cóncavo en $(0, 1)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7

Sustituye cualquier número del intervalo $(1, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f'' (4) = \frac{108 (4) ((4) + 1) ((4) - 1)}{{(3 {(4)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Multiplica $108$ por $4$ .

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{{(3 \cdot 4^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{{(3 \cdot 16 + 1)}^{3}}$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $3$ por $16$ .

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{{(48 + 1)}^{3}}$

Paso 7.2.2.3

Suma $48$ y $1$ .

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{49^{3}}$

Paso 7.2.2.4

Eleva $49$ a la potencia de $3$ .

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{117649}$

Paso 7.2.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

Suma $4$ y $1$ .

$f'' (4) = \frac{432 \cdot (5 (4 - 1))}{117649}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $432$ por $5$ .

$f'' (4) = \frac{2160 (4 - 1)}{117649}$

Paso 7.2.3.3

Resta $1$ de $4$ .

$f'' (4) = \frac{2160 \cdot 3}{117649}$

Paso 7.2.4

Multiplica $2160$ por $3$ .

$f'' (4) = \frac{6480}{117649}$

Paso 7.2.5

La respuesta final es $\frac{6480}{117649}$ .

$\frac{6480}{117649}$

Paso 7.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(1, \infty)$ porque $f'' (4)$ es positiva.

Convexo en $(1, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(- \infty, - 1)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(- 1, 0)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(0, 1)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(1, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 9